POINTS MULTIPLES

309. On appelle point multiple un point qui est traversé pa* plusieurs branches d'une même courbe. Le caractère auquel on reconnaît un pareil point est que la courbe y admet plusieurs tangentes. Nous omettrons le cas où ces tangentes se réunissent en une seule.

Voici un exemple assez général, où y est une fonction explicite Aqx, Soit

jrz=z<sf[x)±L[x — a) [x — b'I^,

- étant une fraction irréductible, dont le dénominateur

<] est pair : le terme (x — a) (x — h^^ a deux valeurs réelles et de signes contraires, pour chacune des valeurs convenables de x, ce que nous indiquons en faisant précéder ce terme du signe dz.

On tire de cette équation

dx q

Pour a: = a, on a

Si l'on suppose a plus grand que i, il y aura deux tangentes distinctes : d'ailleurs, à des valeurs de x peu différentes de a, correspondent deux valeurs reelles et distinctes dej^, qui se réduisent à une seule quand x = û: donc le point qui a pour coordonnées x = a, y = y (fl) est un point double.

Maïs si a est moindre que è, y- sera imaginaire, et il

n'y aura pas de langente en ce point. En effet, pour des valeurs de x très-peu différentes de a, x — b étant négatif, les ordonnées correspondantes seront imaginaires 5 par suite, il n'existera pas de point de la courbe dans le voisinage du point considéré. Nous reviendrons plus lard sur ce genre de points singuliers (n° 315).