INTÉGRATION PAR PARTIES

328. Quand u et i^ sont deux fondions quelconques d'une même variable, on a

dup — udv -^ çdu; donc, en înlégranl, on a

ou bien

r=: I udi> -\- l vduy

j udv =z iiv — I pdu.

Cette formule, qui ramène la recherche d'une intégrale

\ udv k celle d'une autre intégrale / y^duy constitue une

méthode d'intégration fréquemment employée. On l'appelle intégration par parties^ quoiqu'il fût peut-être plus correct de la nommer intégration par facteurs^ puisqu'elle est fondée sur la décomposition de la difierentielle que Ton veut intégrer en deux facteurs.

Exemples.

cosxdx^

VINGT-SEPTIÈME LEÇON. 3l5

On posera I a^cosxdx ■= j x^dsinx = a:^sin:r — a j x sinxdxj

j X sinxdx z= — 1 xdcosx =: — x cos.r -f- I cos xdz

= — .r coso: -f- sinx -hC.

On aura donc, en substituant celte valeur dans la première égalité,

* cosxdx = J?' sino: -{- nx cos j? — "2 sinor -f- C.

On a

I ar*e*dx= j x"de*=Jif'e* — m j x^-^e'dx.

Ainsi l'intégration de x"*e^dx se ramène a celle de ^m-i^xj^. Qjj ramènera de même cette dernière à celle de x'^'^e^dx^ et ainsi de suite; en sorte que, si m est un nombre entier positif, on sera définitivement conduit à

chercher | e'dx^ qui est e'-t- C, et une suite de substitutions donnera l'intégrale demandée.

En prenant /n = 2, on trouverait

j x^e'dx=:e'{x^— 9.x -h 1) -hC

I \xdxy

la: étant le logarithme népérien de x. On trouve I \xdx = x\x — \ X — z=i x[\x — i)-i-C.

3i6 COURS d'analyse.