INTÉGRATION PAR SUBSTITUTION

329. Quelquefois une fonction difTérenlielle f[x)dXy qui n'était pas immédiatement intégrable, le devient par un changement de variable. On dit alors que Tîntégrale est obtenue par substitution.

Ainsi, soit x = rf[t)\ on a

djo=z^' [t) dt et Çf[x)dx= C/[^[i)W{t)dt. Exemples.

On posera

Donc

ax -h b=zt. d'où dxz=z —

iax-^- bYdx^^- I t'"dt=- h C,

^ a J a m-hi

ou

(ax -h- b)'" dx = - hC.

^ ^ fl m -f- 1

2° Plus généralement, si l'on avait à trouver

^f{ax -h b)dxy on poserait

dt ax -h b =tj d'où dx =z — %

et alors on serait ramené à

\Jf{t)dt.

5x^dx

On se fonde ici, pour le choix d'une nouvelle variable /, sur ce que le numérateur de la fonction différentielle est égal, à un facteur constant près, à la différentielle du

VIKGT- SEPTIÈME LEÇOK. SlJ

dénominateur. Posons

3 X* -4- n = ^, d'où x^dx = — dri

il en résulte

on bien

/5:r^dx r 5 dt 5 , ^

J 3jr'-f-7 12 ^ '^

Posons

^a--hX^ = t^ d'où ûr' + A'r=:/% ,rdxz=tdt.

Par suite

5** La même méthode conduit à l'intégrale fréquemment employée

r dx

J X^-\r px 4- q

lorsque les deux facteurs du premier degré dans lesquels se décompose x^-^ px -+- q sont imaginaires, c'est-à-dire

quand on a g — ■— ^ o. On a identiquement

x^-^px^q={x-^^\ [^l-jj- Si Ton pose