ij X — a

yOOT-SUlTIÈME LEÇON. 32^

Ce développement ne s'étend pas plus loin parce que

(jp(j:), dans le cas où f{x) = (x — a)", est au plus du

degré n — i. Il résulte de là que Vt-A est décomposable

en n fractions ayant chacune pour numérateur une constante, et pour dénominateur une puissance de x — a. Le problème est ainsi ramené à intégrer des fractions

de la forme 7 rr- Cette différentielle pouvant semel-

tre sous la forme ---^ tt^ on voit que son intégrale est

— 71 TT nr-T si A est "> I, et 1(j: — a) si A == i.

337. Cherchons maintenant à opérer une décomposition analogue à la précédente, dans le cas général, c'està-dire quand on a

f[x) — '^\[x^àY{x^h)f[x — c)i,.,{x—k) = {x^aYf\x).

Soient A, At, A^, Aj, . . . , A„,, n coefficients assujettis à vérifier l'identité

({/(x) étant un polynôme rationnel et entier par rapport à X, Si Ton multiplie cette équation pary*(a:) et que l'on fasse passer dans le premier membre les termes qui contiennent A, Al, As,..., A,t i, il faudra que Ton ait, pour toute valeur de a:,

) -A, ■^'"'l -...-A^,^^-^={x-aYi(x). \ (x — a)"-' x — a ^ / T\ I

Maintenant, eu développant f (x) suivant les puissances de X — a, on aura

SaS COURS d'analyse.

On obtiendra pour/'(j:) un développement analogue; mais comme a est unç racine multiple de Tordre n^f^a)^ f (a), . . . ,/*"'* {ci) sont nulles, et l'on a simplement

Subsliluons ces valeurs de (f{x) et dey(a:) dans Téquation (i) : en ordonnant par rapport aux puissances de (x — a), le premier membre deviendra

+b'H--\i..ul+.)-^-rxTij(— )

Ll.2 I.2...(/2+2) ' I.a...(/?-hl) M.'2...«J '

Li.a.../z 1.2. ..2/< ' i.'2.. . {'2/1 + 1; J^ '

Or, comme le second membre est divisible par (x — a)", il doit en être de même du premier. Il faudra donc que les coefficients de toutes les puissances de x — a, dans le premier membre, jusqu'au coefficient de (x — a)""* inclusivement, soient nuls.

En égalant à zéro ces coefficients, on aura n équations du premier degré, qui donneront pour A, A,, Aj,..., A,.i un système unique de valeurs finies et déterminées, car les dénominateurs des valeurs inconnues sont les différentes puissances de^^f"^ (a), et par hypothèsey^"^ [a) n'est pas nulle.