CAS PARTICULIER DES RACIISES IMAGINAIRES MULTIPLES
339. SI quelques-unes des racines multiples de l'équation y*(j:)=o étaient imaginaires, le développement
33o COURS d\naly^.
de yj-4 renfermerait des imaginaires qne Ton pourrait
l'aire disparaître en groupant d*une manière convenable les termes relatifs aux racines conjugées; mais il est plus simple d'opérer de la manière suivante.
Soient a dz S \/ — i deux racines conjuguées de l'équation /{x) = o, et n leur degré de multiplicité. Posons
<f{x) Aj: -f- B Ai^-I-B|
/ (x) [{x - ol}' + ê»]" [(^ - ay + 6'J«-«
A,x-f-B, A„,ar-hB„, ^ (x)
[{x—xY-hP]'^' {x — ay^^^ /,(^)
A, B, Al, Bi, etc., sont des constantes qu'il s'agit de déterminer; t(/ [x) une fonction rationnelle et entière de x, et fi {x) le quotient dey(j:) divisé par [(j: — a)* -f- 6*]". On doit avoir l'identité
^{A„^,x-hB^,)[{x^oLy-h^Y-^/,(x) = [(x^ciY-h^'Y'\f{x).
Les constantes A, B, Ai, Bi, etc., doivent donc être choisies de telle sorte, que le premier membre de cette équation soit divisible par [(a: — «)'-}- 6']" ou, ce qui revient au même, de manière que, pour
x = a -4- ê ^ — 1 , ce premier membre devienne nul, ainsi que ses n — i premières dérivées. On aura ainsi n équations, dont chacune se partagera en deux, car il faudra égaler séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de chaque équation.
Dans la première équation, tous les termes, à partir du second, contenant {x — a)* -4- 6* en facteur deviendront
nuls pour x = « + S y/ — i . Cette équation ne contient donc que A et B, et comme elle se décompose en deux, on
V1N<ÏT- HUITIÈME LEÇON. 33 i
pourra ainsi trouver les valeurs de A et B. Quant à la seconde équation, obtenue en prenant la dérivée des deux membres de la première, elle ne contiendra que A, B,
Al, Bi quand on aura fait x = a 4- S \/ — i , et comme A et B sont déjà connus, et que cette équation se sépare en deux, elle donnera les valeurs de Aj et de Bi. On obtiendra de la même manière les autres constantes.
Ce calcul fait, on opérera ensuite la décomposition de
j. . en différents termes dont la forme, connue d'après
tout ce qui précède^ dépendra de la nature des facteurs binômes de yj (a:).
340. Le cas des racines imaginaires multiples conduit donc à intégrer des différentielles de la forme
(Ax-h B)€lx
n étant un nombre entier et positif. Or ou a identiquement
r {kx-^B)dx r k{x — a)dx Ç (Aa-4-B)^x
Si Ton pose
{x-^at.Y-\-P=ty d*où ^[x—(x.)dxz=zdt, on a, à une constante près, lorsque n est^i,
/k(x^ix.)dx __ ÇAdt A
[[x — OlY 4- 6']" ~^j 2V~ "" ~~ 2(/2 — l)r-'
2 (« — i) [(jp — a)' H- ê-^J"- * et, lorsque /? = i ,
Reste donc à déterminer
/' (Aa-H-B)flrj
Pour cela, soît x — a = o«, d'où rfo? = 6«^z ; on a
/(Aa-4- B)^jr __ Aa-4-B f
dz
en sorte qu on est ramené a trouver
dz
c'est donc cette dernière intégration qui doit maintenant nous occuper.
