On a identiquement
r dz r dz r z^dz
Mais
/«Vz I /* 2Zfi?Z
et
-=rfr î 1:
par conséquent, en intégrant par parties, on a
J^ zV/z z i r dz
Substituant cette valeur dans (i), il vient, en réduisant,
/rfz z in — Z r dz
Ainsi la recherche de / est ramenée à celle de
/- \ — ; de même cette dernière serait ramenée à (i-f-z')"-''
celle de / ^- — -> et ainsi de suite, et comme n esl
un nombre entier positif, on sera finalement conduit à la
VIWGT-KEUVlfeME LEÇON. 333
recherche de / i q^^ ^st égale à arctang^. L'inié-
j. clz ^ • 11 j (Aa + B)r/r gralioii de --> et par suite celle de p ,, . ^,9
se trouvera ainsi effectuée.
/(iz de la manière
suivante. Posons
t=:z arctangz;
il en résulte
fiz dz fil
dt =. r ) —
I dz ; = cos*r, d'où 7—- — — = cos**-'ré//;
par suite
— ^^ — — / cos"""- -tdt.
On cou 11 ait différentes manières de parvenir à cette dernière intégrale : une des plus simples consiste à développer cos*"~*£ suivant les cosinus des multiples de t [146, formules (1) et ('i)]. On obtient ainsi un développement limité, et dont chaque terme, multiplié par dt^ s^intègre très -facilement.
334 COURS o'aivaltsis.
