Occupons-nous maintenant de Tintégration de

/(a:, Y^ -h ^j; — x^)dx.

Stdrm. — ^/i., I, 22

D'abord, si a est positif, on peut employer la seconde transformation. On posera

sja ->r bx — a:^ = v^« -f- xz^ d'où b — x=^2,zsja -Jr- xz^\

donc

{7) Ja-k-bx—x^^^^—- ; — ^5

349. Il existe une troisième transformation qui permet d'intégrer

f{xy ^a -h bxzh x^) dxy

quand les deux racines du trinôme a^bxàzx^ sont réelles (dans le cas où x^ et le terme constant sous le radical ont le signe — , les racines doivent être réelles, pour que le trinôme ne soit pas constamment négatif).

Supposons d'abord que le terme x^ sous le radical ait le signe -f- ; soient a et 6 les racines de l'équation

a -^^ bx -^ X* z= o,

on aura

a -^ bx '\' x^ =1 [x — a) (-2^ — 6).

Posons

kj a -^ bx -^ x'^ zrz [x — a) 3 ou a '\- bx -{- x^ =z [x — a)'z',

il en résulte

{x — aj (j: — 6) = (j: — aj^z', OU a: •— 6 = (a? — «) «'j

VINGT-HEUVIÈME LEÇON. SSg

par consëquent,

(2) ^«-h bx'\'X^=z(x^(x)z=i (— Hïf a)z= ^ —^)^ ^

,«. , — (i^-s^)2az^s-h (6 — az^)2z^z 2(6 — at.)zdz

Il faut modifier ces formules , quand le terme x* est précédé du signe — : on écrit dans ce cas

a-^ bx — x^ = {x — a) (6 — x).

Posons

^a -h bx — x^ z={x — a) z, d'où

et, par suite,

(4) "=-mî-'

(5) \/a -\- bx — a^z= (x — a.)z=:- p-,

,^.v - (n-z*)2az^z — (6 -h az')2zc?3 2(a — ^)zdz