Les méthodes précédentes permettent d'intégrer
une fonction rationnelle f{x^ yjx -\-a^ yjx -h b) dx\ qui contient des radicaux du deuxième degré portant sur deux binômes diflérenls du premier degré. En effet, posons
^x -{- a z=z z, d'où
= z^ — «, ^x -\- b = sjz^ — a -^ b^ dx = izdz.
Par suite, f{x^ yjx-^a. \lx-{-b)dx devient une certaine fonction Y [z^ \jz^ — a-\-b) dz, qu'il est possible d'intégrer d'après les méthodes exposées dans cette Leçon.
IMÉGRATIOM DES DIFFÉRENTIELLES BIJNÔMES. CAS
d'intégrabilité.
3o2. On appelle différentielles binômes celles qui sont
de la forme
x^{a -\- bx")Pdx.
On ne diminue pas la généralité de cette formule en supposant que m et n soient des nombres entiecsj si
l'on avait 9 par exemple, a;' j^a-f- ij^'/ dx^ on ferait
x= 2®, d'où dx = 6z^dz^ et la question serait ramenée à intégrer 6z^ {a ■+- bz^ydz^ différentielle binôme dans laquelle les exposants de -z, hors de la parenthèse et dans la parenthèse, sont des nombres entiers.
On peut de plus supposer n positif, car si l'on veut intégrer x"" [a-^bx^^Y dx^ ^' s^ffi^ ^6 f^'""® a: = --pour
ramener cette intégration à celle de — 2~"*"* [a H- bz^ydz, ou l'exposant de la variable, dans la parenthèse, est positif.
Quant à p, on doit le supposer fractionnaire. En effet, si p était un nombre entier positif, on aurait, en développant [a -4- bx'*Y, un polynôme entier, et si p était entier et négatif, on aurait une fraction rationnelle-, dans ces deux cas, l'intégrale s'obtiendrait par les procédés qui ont été exposés dans les précédentes Leçons.
353. Pour trouver d'autres cas où la différentielle x"* (a 4- bx^Y dx puisse êlre intégrée, posons
a -t- bx" = 3,
La différentielle devient alors
et l'intégration pourra se faire si
(i) . = un nombre entier.
En effet, si p est égal à la fraction -> en faisant « = f
on sera ramené au cas d'une fonction raiiounelle. L'intégration sera donc possible «
^ 354. On trouve un autre caractère d'intégrabîlîlé, en écrivant la différentielle binôme sous celte forme :
af^-^^P ( ûrar~" -{- b)P dx,
La condition qui vient d'être trouvée devient pour celte
^ , m -j- np -\- i
lormuie : j ou
— fi
(2) h p =: un nombre entier,
condition qui pourra être remplie, quand la première ne le sera pas.
Par exemple, pour la différentielle jc* [a -j- bx^)^dx^ on a
et la deuxième condition dHntégrabilité se trouve seule remplie.
RÉDUCTION DE L^EXPOSANT DE X HORS DE LA PARENTHÈlSE.
355. Comme il n'est pas possible, en général, d'intégrer la différentielle binôme a:"* (a -j- hx'^Y dx^ il faut la ramener à d'autres intégrales plus simples; on y parvient au moyen de l'intégration par parties. On a
en posant
la H- é^«)/'+»
nb (p -h i) et, par suite.
/af" (a -+- bjf^)Pda:
^TT — r—T n / -^ï^^" («
VINGT-NEUVlèME LEÇON. 343
La nouvelle înlégrale contenue dans cette formule sera plus simple que la proposée si m est positif et plus grand que «, et p négatif, car alors p -{-i aura une valeur absolue moindre que p. Mais on peut trouver une formule dans laquelle Texposant de x htfrs de la parenthèse soit seul diminué. En effet, on a identiquement
j:^-" [a -4- 6^»)/'-+-' = j:«-« [a -4- bx"")? [a -f- bx'')
—. aaf^^\a -h bx^^y -f- bx^ (a 4- baf*)P.
Par conséquent,
a7«-« ( a + ^j:")p+' dx
Substituant cette valeur dans Téquation (a), on aura
— a j x'^"{a -h- bx"*)? dsB
x^ {a -\- bj^)P dx
nb (p -h i) nb (p -f- -r-, b \ X"' (a -f- bx^)P dx.
Par suite, en transposant le dernier terme et réduisant, I jr{a-h bif')Pdx
= -r-7 ^ A \ l^'^{a'^bx^]Pdx.
L'intégration de x"" [a + bx^)P dx est ainsi ramenée à la recherche de
1 x^'"'(a'hbx^)Pdx; on fera dépendre celle-ci de
a;«-'«(tf H- bx^)PdXf
et ainsi dé suite, en sorte que si ni est positif et plus grand que 72, en désignant par in le plus grand multiple de n qui soit inférieur à m, on sera ramené, après un nombre/ de réductions, à l'intégrale
j,m-in (^a -\- baf^y d.T,
Si l'on avait m — in = n — i, cette dernière intégrale pourrait s'obtenir immédiatement, car elle deviendrait
bx'^y dx = ^—r-, ^- -f- c.
' nblp-hi)
Mais Tégali té m — m = n — i revient à = z -+- 1 ,
et la première condition d'inlégrabilîté (353) est remplie.
Lorsque n/; -J- m -h i = o, le second membre de (A) prend la forme oo — oo , et cette formule devient illusoire. Mais, comme h p est égal à o, c'est-à-dire à
un nombre entier, on retombe dans le second cas d'inlégrabilité (3o4), et l'intégrale s'obtient directement.
RÉDUCTION DE l'eXPOSANT DU BINÔME.
356. Dans la transformation (A) la réduction portait sur l'exposant de j: hors delà parenthèse, tandis que le facteur [a -H bx^'Y ne changeait pas. On peut maintenant, au contraire, laissant le facteur a:"* invariable, ramener la recherche de l'intégrale proposée à celle d'une intégrale dans laquelle l'exposant de a 4- ba^ sera diminué d'un certain nombre d'unités.
En effet, comme
ai^ia-^ bjf^y dxz=. la -h baf*y d »
VIWGT-NEDVIÈME LEÇON. 34^
on aura, en înlégrant par parties,
l j X'" [a -^ bjc^Y dx
^+' [a -f- bx^)P pnb f , , > . ,
~ i '. 1 j a;™-*-" [a -f- ba^)P'^ dx.
Par cette formule, l'exposant du binôme a -h bx^ a bien été diminué d'une unité, mais l'exposant de a: hors de la parenthèse a été augmenté de n unités. Pour réduire ce dernier exposant, on change m en m + w, etp en p — i , dans l'équation (A) 5 il vient
ar"-^ (c -f- baf)P-^ dx
== // . ^ — TT — ^^^^^ -N M^ ^ -f- bx^)P-' dx-,
6(/2/^4-/w + i) b[np -\- m-\-i) J
par suite, en portant cette valeur dans l'équation (S),
a:^(a -H bx^ydx
x'^^ ( a -+- bx")P npx'"-^* {a -+- bx'*)P
/a -h I {m -h i) [np -h m -+- 1)
Fip -+- m + et, en réduisant,
l x^{a'^ bx")Pdx
np -h- m -{- i np -{- m -^ij
Au moyen de cette formule, on ôtera successivement de p toutes les unités que contient cet exposant.
357, La formule (B) devient illusoire quand on a
np -\- m -f- I = o ; mais alors oq retombe dans le second cas d'intégrabi-
lité (351), et l'intégrale cherchée s'obtient par un changement de variable.
En résumé, l'emploi des formules (A) et (B) fera dépendre l'intégrale j x^ [a-h bx'^Y dx, quand m et p sont positifs, de l'intégrale plus simple
af*-'" {a ■+- hot^y-^dx ^
in étant le plus grand multiple de n, inférieur à m, et A la partie entière de p.
Par exemple, on ramènera l'intégrale
ix' [a
hx^fdx
à \ x[a-v-bx^Y dx^ en la réduisant successivement, par la formule (A), aux suivantes :
l X* {a -\- bx^y dx y l X [a -\- bx^y dx ,
et cette dernière, parla formule (B), aux suivantes : 1 jc (a 4- bx^ydx, j X (a -h bx^ydx.
