FORMULES DE RÉDUCTION DANS LE CAS OU LES EXPOSANTS

m ET p SONT NÉGATIFS.

358. Quand m et p sont négatifs, les formules (A) et (B) ne réduisent pas la différentielle binôme à une plus simple expression^ mais elles conduisent à deux nouvelles formules, qui opèrent la réduction dans ce cas.

Occupons-nous d'abord de diminuer l'exposant de a:, hors de la parenthèse. Pour cela, tirons de Téquation (A)

la valeur de l'intégrale / x^"" (a -^ bx"y dx , ce qui

donne

= ^^ ^^ I af"(a-^ bx'')Peix.

Ensuite changeons m — «en — m qm m en — ni-\- n :

nous aurons

, . . .r-^"^' (a -4- bx^)P-*-'

(C) ^^ (rn — i)a

^ ) b(np-hn — m-hi) C ^ , , x ,

/ H ^-^ ^ I dr-'»+" (a -h bx^y dx.

Par l'emploi répété de cette formule, l'intégrale cherchée pourra être ramenée à la suivante :

ar-'"+('+')»(a 4- bjf)Pdxy

dans laquelle in représente le plus grand multiple de n contenu dans m.

Si Ton avait

— m 4- (/ -H i) « = « — I > la dernière intégrale deviendrait

fx— (a 4- baf^)Pdx = (^ f ^^y^' ^ C. J nbip-hi)

Mais comme on a — m -i-i

= — I = un nombre entier,

on retombe dans le premier cas d'intégrabilité.

3S9. Lorsque p est négatif, on tire de la formule (B)

a:"+' (a 4- bx^)P np -^ m -\-\

aup a/tj^

f^ia^t^y,..