ALGÉBRIQUES

362. On ramène aux fonctions algébriques, par une simple substitution, les intégrales qui renferment sous

le signe I une fonction algébrique d'une transcendante,

multipliée par la différentielle de cette transcendante : telles sont les intégrales

jf[c')e'dx, p[a')a'dx, Jf{\x)^, I /(sinx) cos X ci jc^ j /{cosx)sÏD.7:cIxj

/y(arcsinj:) ^ iy(arc tangj?) —

yi — x^ J i-f-J^

Par exemple, si l'on veut obtenir

fix

[\xY—,

dx

on posera \x = z^ d'où — = dz^ et, par suite,

ou

lx)« — =.i hC.

INTÉGRALE DE 2"P/'/j?.

363. Cherchons à intégrer une fonction telle que jz"P^a:, z étant une fonction transcendante de x. Posons, à cet effet,

i^dx = q^ (q — r/jc = R, 1 K-^dx = S,. ..:

on a

/ z«-' qdz = 1 z"-'ciR =z Rz«-' — {n — i) jz"-^Rdz,

lz"-^Kciz= /z«-'^S= Sz"-»— (« — 2) I z"-^Sr/3...; par conséquent, (A) / z'^P^jcr^Qz" — «Rz»-' -h«(/2 — i) Sz«-^ — ....

La loi de ce développement est évidente. On aura l'intégrale cherchée si n est un nombre entier positif, et si l'on sait obtenir les intégrales désignées par Q, R, S, etc.