Exemples

1° I x^-'(\xYdx:

on a

^ , dz i

P = ^»-', z=rl;r, — = -,

dx X

par conséquent,

/^H ^-FFI .mIR

af^'llxydx

Si, dans celle formule, on pose Ix = z, on aura

z"e"»clz = — 3" z"-» H i — — -i 2*-» — . . . H- C.

/(a..csinx).rf..

II faudra faire ici

2=:arcsina:, P=i.

On aura

el ainsi de suile*, la subslilulion de ces valeurs dans la formule (A) donnera, en groupant convenablemenl les termes,

[arcsïnœYcix

z3^[z''— n (n — i)zn~2^ /z(/z — i) (« — 2) {n — 3)s^*--...]

-'r v/i — a;''[/7s"-» — // [n — i} (« — 2) a"-» -r- . . . J. Stdrv. — w^/ï., I. 23

I^orsque n est un nombre entier positif^ ces deux séries se terminent d'elles-mêmes.

Si Ton pose arcsino: = z, on aura

^i — x^ = cos Zj dx = coszdzy et la formule précédente deviendra

z" cos zdz

:sinz[z" — n{n — i)z^''^-i-n(n — i) {n — 2) (n — 3) z 4- C0S3 [nz'*^^ — n{n — i)(n — 2) z**-» -f- . . .].

Cette dernière formule est d'ailleurs une conséquence d'une autre plus générale. On a

I /(jc) cosxdx z=f[x) sinar — l f'[x)%mxdxy I f^[^) sinorcte m — f (a:) cosa: + I f"[x) cosxdx, I /"{x) cosxdx ^=.f'*[x) s\nx — 1 f^x) smxdx, et ainsi de suite ^ par conséquent

\f{x) cosxdx z=i\f{x) —f" (x) +/.'^(^) — . • .] sinx