On peut encore déduire ce résultat de la formule

^(a + fcs/-,).^^^

où, après avoir remplacé les exponentielles imaginaires par leurs expressions trigonométriques, on égalera les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres. Plus généralement, pour obtenir

1 z"e°'cosbzdz et / z'*€"sinbzdz,

il suffit de remplacer, dans la seconde formule, page 353,

m par a -+- b y/ — i, et d'égaler séparément les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres.

368, On intègre y (sin x, cos j:) rfx, /^ désignant une fonction rationnelle, en posant tang -x = z.l] en résulte

sm j: ::=: 2sm — j:cos-a: = -j

cosa: = cos' ~ X — sin' - x =

, o.dz

dv=z — - — -,

d'où

fonction rationnelle par rapport à z,

369. Voici quelques fonctions trigonométriques qui se présentent souvent dans les calculs et dont l'intégration s'obtient avec facilité.

1° I sinxcosxdxz= 1 sinxd sinx =z \- C.

On peut aussi écrire

I sin.rcosj:c/j:= - jsinixdx=j 1 siD2jrii(2j:).

Donc

siQ:rcosx£/a7 = — y cos2j: + C.

Il est aisé de s'assurer que ces deux expressions de la même intégrale ne diffèrent que par une constante.

ou

/rdcosx -,

tangx^jr = — I = — 1 cosx 4- G, J cosx

/rd?\nx , . ^

cotxaj7= f — : =Ismx4-C.

J sinx

i\mgxdx = 1 \- C.

cosar

: — = / - — ^- = llangj?4-C.

in.r J tango: ^

= 1 tang - 4? + C,

sin — .rcos ^ x 2 2

6« / —^ = — 1 tang ( y — i a: ) + C.

J COSJ? ^ \4 2 /

Cette intégrale se déduit de la précédente en remplaçant x

TT

par X.

^° 1 dx sj I -f- cosa: = i î2^ (~*^) V^2sin-J:

rrr — 2V2COS — X + C.

On trouvera de la même manière

/ dxsji — cosx = 2 y/^sin -or + C.

!OSj:

r dx

J asmx + bci

On pourrait ici employer la méthode générale (368); mais il vaut mieux écrire

/dx I /> dx

a%mx -if bcosx . /^a ^l a? I asin^r ocos.r

sinar + ^cosj: Ja^ ^ ^^ I asinx bcos.