Si Ton pose sinx = Zy d'où

cosx = (i — z') ' et dx = {i — z^) ^ dz^

on a

sin" 07 cos^x dx=: z'"{i — z^) dz,

d'où Ton voit que si n est un nombre entier impair, positif ou négatif, on pourra intégrer, quel que soit m. On verra de même, en faisant cosa: = z, que l'intégration pourra se faire quand m sera un nombre entier impair, positif ou négatif.

Dans tous les cas, quels que soient m et /i, on ramène cette intégrale à d'autres plus simples au. moyen de l'in-

tégration par parties. On a

I sin'"xcos".r^j:= I cos"~':rsin"j:cosart/a?

/(* sin'""'"'j cos"~'jrsin'"j'c?(sinj:) = / coh^'~^xd

et par conséquent

1 ûvl*^ X ç,o%^ X dx

= ces"""' .r 1 I sin'""*"*j:cos"~*^ax,

Celte formule est avantageuse lorsque m est négatif, et n positif. Mais il est possible d'obtenir une formule dans laquelleTexposanl 72 seul soi t diminué de deux unités.

Pour cela, observons que

sin«+»^ cos'*~'ar = sin"* j: (i — cos'x) cos"—'x,

sin'«+»j; cos'*~^j: = sin^arcos""*^: — sin'"j:co5"j:,

d où

gji^m-t-a J, ces" "^ .r dx

=/sin".cos-..x-/sin".cos..^.

Substituant cette valeur dans la relation (j3), il vient sin'"j: cos"xdx = ces"-' jc

sin'""*''.r

; — ( I sin^o: cos"~^xdx — / sin'"xcos''j:û?-c j

ou bien, en réduisant,

^xdx

1 I sin"'xcos''.

(sin'""^'.rcos''-'j7 n — i /*• » .k-, ^ m -i- n tu-f nj

Ainsi I sîn"*j!:cos'*a:cîr est ramenée à j sin'"xcos'^''*xdx.

On ramènerait de même cette dernière intégrale à sin'^o: cos"""*:crfa:, et ainsi de suite ] en sorte que si n est un nombre entier positif, on sera conduit à Tune des deux imégrales/sin-.^., ou/sin'-.cos.^x, suivant que n

est pair ou impair, intégrales qu'on sait obtenir. En effet, nous avons indiqué plus haut (371) le moyen de calculer

s\n"'xdx^ quand m est un nombre entier positif, et,

d'un autre côté, on a

r • « j r • « ^ • sin^'+'or ^ 1 sm'"^: cosxax = I sm'^arrfsmjr = h C.

373. La formule (B) devient illusoire quand m = — 72; mais, dans ce cas, la formule (|3) donne

/tang^+'x r ^ .

Changeons maintenant m -{- 2 en /w ou m en m — 2, et résolvons par rapport à 1 lanQ"*xcix : il vient

Celle formule sert à réduire l'exposant de tangjr, et conduit, selon que m est pair ou impair, à

I dx z= X -\- C, ou à

tan^xdx = — 1 coso: -+■ G.

374. La formule (B) fait porter la réduction sur l'exposant de cosa:. Mais on peut en obtenir une autre qui

réduise l'exposant de sinx eu remplaçant a: par jr,

TBEWTIÈMB LEÇON. 363

m par n et n par m dans la formule (B), ce qui donne

If r , sin^-'jTCOS^+'ar m — i T. , „ ^

= 1 f sin"*~*J? cos" arrfx, m -f- n m -\- n J

Celle formule serl à réduire l'exposant de sina: lorsque m est positif. Sî n est un nombre enlîer pair, on a vu qu'au moyen de la formule (B) on ramenait rintégrale proposée à l'intégrale i sin^'xdlr. Maintenant, au moyen de la formule (D), on la ramènera, sî m est impair, à l'intégrale I s\nxdx = — cosa: H- C, et, si m est pair, à l'intégrale I rfjc = a; -h C. Donc, lorsque m et n seront entiers et positifs, il sera toujours possible de trouver l'intégrale

siïi'^xcos^xdx.

375. Les formules que nous venons d'obtenir ne pourraient être employées dans le cas où l'un des exposants m et /i, ou tous les deux, seraient négalifs. Mais elles en fournissentd'aulres, qui permettent de faire les réductions dans ces derniers cas.

Supposons m négatif, n étant positif ou négatif; en remplaçant m par — m H- 2, dans la formule (D), et en résolvant par rapport à l'intégrale qui est dans le second membre, on aura

,^, rcos"xci.r cos"**"*^ m — // — 2 /* cos^^r

^ ^J sin'"x (^w — i)sm'"-'x m — i j sin*'— 'a-

l'intégrale proposée se ramènera donc à / cos'^xdx ou à

ax^ suivant que m sera pair ou impair.

siu^

364 COURS d'akalyse.