On peut quelquefois reconnaître si l'intégrale
f(x)dx
a une valeur finie quand b devient oo .
Supposons b très-grand, mais non infini : en appelant h une quantité comprise entre a et £, on a
f /(x)r/x= f /{x)dx-h f /(x)dx,
Puisquey(x) ne devient pas infinie, la première partie de Tintégrale est une quantité finie; il suffit donc de
savoir si Tautre partie i f[x)dx est finie. Mettons f{x) sous la forme
us[x) désignant une fonction qui reste finie pour toutes les valeurs de x plus grandes que k. Soit M la plus grande, et m la plus petite des valeurs de rs [x)^ pour toutes les valeurs de x plus grandes que A : on aura
3^8 COUIVS D ANALYSE-
On aura donc
OU
Or, quand n est plus grand que i , le second Tnewibre âc
Mi cette inégalité se réduit, potar A = oo , à -— ^ • Donc
f[x)dx a, dans ce cas, une valeur finie. Si n est moindre que i, on aura
/(^) dx > — — (^«-»~ X'-»).
Or, I — h étant positif,. le second membre de cette inégalité devient infini pour J = oo : donc; i f(x) dx^ et
Jk
par suite j /{a?) dx^ est infinie pour ft = oo . Enfin, si n =r I, on a
mais
is 1 ( -• j = 00 quand i = oo : donc
f[x) dx=ico , k
La même remarque s^applique à Tintégrale
TRESTE-DEUXiÈMfi I.£ÇOI¥. 37^
quand on peut mettre y (a:*) sous la forme — ^—^5 cy (.r)
restant finie pour toutes les valeurs de x comprises entre — 00 et u-ne certaine quantité moindre que b : cette intégrale est finie si n est plus grand que i, et infinie si n est inférieur ou égal à i .
INTÉGRALES DANS LESQUELLES LA FONCTION SOUS LE SIGNE 1 DEVIENT INFINIE ENTRE LES LIMITES DE l'intégration ou a CES LIMITES.
389. Dans le cas oiLf(x) devient infinie pour x =z b, on définit I f{x) dx comme étant la limite de l'in-
f{x) dx^ lorsque e décroît jusqu'à zéro.
De même, si f(<i) = 00 , 1 f{^x) dx est la limite de
f(x) dxj quand g décroît jusqu'à zéro.
Enfin, si f{c) est infinie ou discontinue, c étant une quantité comprise entre a et £, on pose par définition
Jf*b f*c — î pb
/ [x) dx z=z \im I /(x)/ix -\-\im j f[x)dx^
quand e et y] décroissent jusqu'à zéro.
On voit, d*après cela, comment il faudrait définir
/ J[p^) ^-^5 *^ f^^) devenait infinie ou discontinue.;
pour un plus grand nombre de valeurs de x comprisec entre a et b,
390. Quand la fonction y*(a:) devient infinie à Tanc des limites ou entre leslimiies, on peut souvent recoo-
38o COURS d'analyse.
naître si la valeur de Tinlégrale est Jinie ou lufinie. Supposons, par exemple, y(fe) = co : soît
n étant un nombre positif et t^{x) une fonction qui i\v devient pas infinie lorsqu'on fait x^b. Appelons k um^ quantité comprise entre a et & et aussi rapprochée de h que l'on voudra ; on a
f /ix)dv= f /{x)dx^ f /(x)dx.
J a Ja J k
Or, i f[x)dx a une valeur finie. Il suflit donc de
savoir si 1 J {x) dx est finie.
Désignons par 'M et in deux constantes entre lesquelles TT [x) reste comprise, lorsque x varie de ^ à i. On aura pour ces valeurs de x^ si n est plus petit que i,
par suite,
Quand t tend vers zéro, le second membre de celte inéffalité tend vers la valeur finie —^ — ib — A)*"". Donc,
f(x)dxj et, par suite, l f[x)dx^ a une
valeur finie.
Je dis maintenant que, si loua «> i, Tinlégrale pro-
TRENTE-DEUXIEME LEÇOIS. 38 1
posée esl infinie. En ellet, on a par suite,
/i étant une quantité plus grande que i, lorsque s tendra vers zéro, le second membre deviendra infini. Donc,
à fortiori^ j f[x) dx tendra vers l'infini.
Il en serait de même si l'on avait n=^i'^ car, de l'inégali té
on déduit
Le second membre devient infini quand s s'annule 5 donc
Xb rtb
f[x) dx^ et, par suite, I f{x) dx elle-même sera
infinie.
