INTÉGRATION PAR SÉRIES

393. Etant donnée une-différentielle /(x) rfjc, si Ton peut exprimery(j:) par une série convergente

on aura, en multipliant par dx^ et en intégrant entre deux limites a et ft,

I f[x) dx := I Uid.c -j- I ih du: -\- . . ,

dit Ja J u

u„ dx -f- I /•„ dx.

Si la série (i) est convergente pour a: -.= a, x= b et toutes les valeurs de x comprises entre a ex b^ on peut supposer r„<[[ e, e étant une quantité aussi petite que Ton veut, pourvu que n soit assez grand. Dès lors

rndx<^ I sdXf

r^dx <^z[b — a).

Donc I Vndx décroît jusqu'à zéro quand n augmcnie

jusqu'à Tinfini. Il en résulte que la série

Uidx -h l u^dx -\- \ a, t/jT -h . . . -f- I a, dx-h . . . a va %/ a J a

est convergente et qu'elle a pour somme I /^(j^) dx. On

TBEJNTE-DEUXIÈME LEÇON. 38 î

peut remplacer la valeur fixe b par rinclétermînée x, iit il vient

f{x) dx =: I w, f/x -f- / Uicix -^ , , . . a J a */ a

394, Celte formule est encore vraîe pour x = b^ même lorsque la série «i -H Wf -h ils H-. . • , convergenle quand x est moindre que b^ devient divergente pour a: = i, pourvu que la série (2) soit encore convergente. En effet 9 quelque petite que soît la quantité positive e^ on a

f[x)dx=i I Uiilx-^ I Uidx-\- I ii^dx-h,,,^

Or les deux membres étant des fonctions continues de x, qui ont constamment la même valeur, leurs limites pour e = o doivent être égales. Donc

Jnih /*h /»ft /*h

' f[x) dx= I Utdx -h j Uidr -\- 1 «, f/x -f- . . •• a J a J a Ja

395. En général , si la formule de Maclaurin donne poury (j:) une série convergente,

J/(x)dx==c-4-x/(o)-^^r{o)-^~^r(o)-^....

Si Ton veut en déduire l'intégrale définie 1 f(x) dx,

c'est-à-dire si Ton veut que l'intégrale commence à a: = o^ ou soît nulle pour a: = o, il faudra que C soit nul. On a, dans ce cas,

EXEMPLES d'intégration PAR SÉRIES.

Par une simple division on trouve

z=.\ — jrH-ar* — jc^ -\- . . .± jt*^' zp