I -h jr ' I H-a

Donc

j:> j;3 j:« ^ ar« T' .ï

Quand x est moindre que i en valeur absolue, la serio 1 — jt* -h X* — a:' -h . . . est convergente ; donc la série

X h-TT 7-4-... l'est aussi en ire les mêmes limites

de X. Donc quand — i<[a:<^H-i, on a

Jr' x^dx tend vers

zéro quand n augmente indéfiniment.

En effet, si x est positive, on a

doue

Or quand n augmente, le dernier membre tend vers zéro. Donc, en arrêtant la série à un certain terme. Terreur commise sera moindre que le terme suivant. Cette erreur sera eu plus ou en moins, suivant que le dernier terme employé sera de rang pair ou de rang impair.

Quand x est négative, en désignant par a une quan»

titë plus grande que x^ mais moindre que i^ on a

nt, par suite,

' j:''<'Ar .r"-^'

expression qui tend vers zéro lorsque n augmente jusqu'à Tinfini. Dans ce cas, l'erreur est toujours dans le même sens.

Si l'on avait 07= i, la série i — i-hi — iH-i — ...ces-

serait d'être convergente, mais la série i I-tt — j4-...

le serait encore, et représenterait I2 (394). On a donc

2® f arc laniitx.

On a

= I — ar'-4- X* — x'-f-. . .dnaf"-'

w étant un nombre positif impair; si l'on inlcgre les deux membres et qu'on désigne par arc langx le plus pelit des arcs positifs ayant x pour tangente, on trouve

arc tang j: nrjc — — -t--^ h ..dz— qp I — ; —

La série 1 — x* H- x* — x' -h . . . cesse d'être couver-

gcnte pour .r = i , mais la série x — "T" "*" T ~" * ' * ^'^^^ encore pour iC ;= 1 5 on aura donc

arc lang 1=: -j ::=i — - -^ -=

I — =1: arc smor.

Jo \/ 1 — ^

388 COURS d'amalysh.

Par la formule du binôme, on aura

Mullîpliant le second membre par dx et intégrant , il

vient .

(2) arcsinx = x^- - -x- H 7 • -^ H 7-7-. h. . .,

série convergente quand on a — i<^a:<[i, puisque la série (i) est convergente entre ces limites.

La série (i) cesse d'être convergente pour x = i] néan-

moins, comme pour x = i = sin - la série (2) est encore convergente, on a (394)