FORMULES GÉNÉRALES

397. Soit CIMD la courbe dont Téquation en coordonnées rectangulaires estj^=y^(a:), et représentons par u l'aire - ACMP. En appelant x eiy les coordonnées du point variable M (207), on aura

^ duz= ydx=^f[x) dx.

Par conséquent u = ff[x) dx.

Si Ton veut que Taire soit limitée à Tordonnée CA correspondant à Tabscisse OA = a, 1* intégrale doit commencer à x = a, et Ton a

U-- I /(x)dx,

X représentant Tabscisse d'un point quelconque de la courbe.

Enfin, si on limite de même Taire à Tordonnée BD correspondant à x -■= OB = è, on a

tt^raircABCD

x)dx.

Si les axes étaient obliques, on aurait, en appelant 0

Tangle des axes,

COIJHS D AWALYST!.

aireABCD = sinO / f{x)dx.

k li

398. L'iniégrale définîe est la somme des valeurs infiniment petites de la différentielle entre les deux limites a et b. Or, si l'on suppose, ce qui est le cas ordinaire, que dx soit 'posilîve,/(j:) dx ou la différentielle de Taire

Fiiî. 79. sera positive ou négative, sui-

vant que/(j:) ou l'ordonnée j^ sera positive ou négative. Par conséquent,rintégrale représentera la différence entre la somme des segments situés au-dessus de Taxe des x et la somme des segments situés au-dessous, de sorte que, si l'ordonnée change de signe deux fois, par exemple, entre les ordonnées AC et BD, on aura

r f(x) dx=zkCn — HIK 4- KDB.

Ja

La somme de ces segments serait donnée par

\ f{x)dx— f /{x)dx'+- f /{x)dx, a Jh Jk

en désignant par h et k les abscisses OH et OK.