DES COORDONNÉES RECTJ LIGNES
400. Soît d^ abord, comme exemple de la théorie précédente, une parabole quelconques^ = px"*, m et n étant positifs. Soît aire OMP=: u^ on a
I m n fi
d'où
dur=.ydx-=ip X dxy
Jr*x ^ - ^—
Ce résultat peut s'écrire
xy.
Or, xy représente l'aire du rectangle OPMQ construit
sur les coordonnées du point M. On a donc
Fig. 81.
OMP : OPMQ = n:{m-h «),
ou
OMP : OMQ = n:m.
Ainsi, la parabole partage le rectangle OPMQ dans le rapport constant de min.
401. Réciproquement, il n'y a que les paraboles qui jouissent de celte propriété. En effet, la proportion précédenle peut s'écrire
(/n •+- n) u= nxy.
Par conséquent, on doit avoir
(//i -\- n) du = nx djr •+ nj dx^
d'oii
Sp^ COURS d'ANALTSE.
OU, puisque du zzr^ydx^
[m H- n)jrdx z= nxdy -^ ny dx^
ou
eufi
my dxzz=. nx dy.
Ce résultat peut se mettre sous la forme
dx dy
m — z=zn — \ X y
d'où, en intégrant,
n\yz=m\x-it-Q ou l^« = Ijc" 4- C.
Mettant C sous la forme 1/7, il vient, pour Téquation générale des courbes qui possèdent la propriété dont4] s'agit,
ou
Dans le cas de la parabole ordinaire y* = px, on a n = a, m = I , et, par suite,
402. Considérons, en second lieu, une courbe du genre p. gjj ^/7erio/e donnée par l'équation
m et n étant deux nombres entiers positifs. On n'a représenté dans la figure que la branche située dans l'angle j^Ox, et qui a pour asymptotes les deux axes.
Supposons n plus grand que m. Soient u := ACMP, OA=a, OP=J[:-Ona
Jnx /%x —
' ydxzzzj p*^ X " dx^ a Ja
TRENTE-TROISIÈME LEÇOIY. SpS
et, en effectuant Tintégration,
n uz= p
n — iH
On voit que si x augmente jusqu'à Finfîni, l'aire ÂCMP augmente aussi jusqu'à Tiniini. Mais, au contraire, si, laissant MP fixe, on fait décroître a jusqu'à o, la surface augmente continuellement, mais en restant toujours fitiie^ et, à la limite, quand a = o, cette aire se réduit à
n — êii
Ainsi la surface ACGU lend vers une limilc finie, à mesure que le point G se rapproche de plus en plus de l'asymptote Oy.
Cette limite, éi;ale à p^ x x " ou bien à
.ry, est dans le rapport constant de ti à /2 — m
avec le rectangle OPMQ = xy. On a donc la proportion
u\xy z=: n\(^n — /w),
en désignant par u l'aire indéfinie, qui cependant a une valeur finie.
-403. Réciproquement, il n'y a que les courbes comprises dans Téquation 3c^j^z=zp qui jouissent de cette [)ropriéié. En effet, on déduit de la proportion précédente
u{n — /w ) = nxjTy
d'où
\ n — m ) du z= fix cfy: -+- njr (Le.
Comme du=zydx^ il vient, en réduisant et divisant par xjr,
ilx . dy — m — •=.n — •
Donc, en intégrant,
ou bien, en faisant C = lp^
dVm
Dans le cas particulier où m = «, l'équation
revient à ]a suivante
qui représente une hyperbole équilatère du second degré. On aura
jr=-9 donc ydx^=zp — '^
Si p = i^ a = I , on aura
c'esl-à-dire que Taire est égale au logarithme népérien de l'abscisse (2H, a®).
