Pour Yliyperbole, dont l'équation est Fig. 85. b
y=^ — sjx^ —
l'aire du segment AMP est donnée par la formule
^ Ja
En intégrant par parties, on a
. /• x^dx
Jx^-- a^dx^=x\Jx^-- a^-- \ »
Mais
/x^dx r(x'
(x'' — a} + a'')dx
^jx* — à*
= idxJx'^ a' 4-fl' / ,
et (347, 1°)
r= 1 (a: 4- \/jf' — ^<' ) •+■ C;
on a donc
d'où
AMP
bx \jx^ —
\lx^ —a^ ah ' Ix -\- \jx^ — aA 2a 2 \ ^ /
408. Comme dernière application, considérons la Fig. 86. crycloïde AMD engendrée par le
mouvement du cercle ANB roulant sur la droite BD. Prenons pour origine des coordonnées le sommet A, et pour axes la npr-
maie et la tangente à la courbe
en ce point. L'équation difiëreu-
fN
lîcUe de la cycloïde est alors
lia
On aura donc
aire AMP rr= / ydx=^ 1 dy\J7,aj — Jo Jo
Menons MQ perpendiculaire à AB, et soit AQN le segment déterminé par MQ dans le cercle ANB. En observant que QN = v/2«j^ — j*, nous avons
donc
scgm . AQiS = I djrsliajr — j%
Jo
AMP = segm.ANQ,
Si l'on fait x ==. ira, et, par conséquent, y = an, on aura
ADG =
Retranchant celle aire de Taire 2 Tra* du rectangle ABDG, el doublant, on aura
2 aire AMDB = 3 ira' ;
c'est-à-dire que Vaire comprise entre la cjcloïde et sa base est égale à trois fois Vaire du cercle générateur.
