Si u désigne Taire du secteur COM, on aura

r et 0 étant les coordonnées por laires du point M-, par suite,

r^'dO,

celte intégrale ayant pour limites les valeurs de Ô qui correspondent aux points C et M.

41 0. Soi t comme appli ca ti on 1 a spirale logarithmique^ dont T équation est

r^zae""^

='if"-

Posons OC = r', et faisons dans . la formule r=^r' -^ il vient

Om-^ + C;

4oo

par suite,

GOUBS D ANALYSE.

Si le point C se meut en rétrogradant sur la courbe, le rayon vecteur OC décroît jusqu'à o, et Taire du secteur

tend vers la limite

411 . La quadrature des aires curvilignes est quelque- Fi{j. 89. fois rendue plus facile par rem-

ploi des coordonnées polaires.

'A^M Pour en donner un exemple,

soit la courbe qui a pour équation

(i) j;"' -h /' — axjr z= o.

Celte courbe, connue sous le nom de folium de Descartes, se compose de deux branches infinies qui se traversent mutuellement à l'origine, et qui ont pour asymptote commune la droite dont Téquation est

Avec les coordonnées primitives, la question qui nous occupe exige la résolution d'une équation du troisième degré; mais si Ton prend Téquation polaire de la courbe, en plaçant le pôle au point O, on n'aura jamais qu^une seule valeur du rayon vecteur pour une direction donnée ^ car Torigine étant un point double, Téquation devra être satisfaite pour deux valeurs nulles de r. et, par conséquent, le premier membre sera divisible par r'.

Si Ton prend Ox pour axe polaire, il faudra remplacer X par rcosO et jr par rsind dans l'équation (1), ce qui donnera

r* (cos* G 4- sin^ 6 ) — ar^ sin 9 ces 0 = o.

thente-troisi^me leçon. 4^i

ou bieu, en supprimant le facteur r* et résolvant par rapport à r,

«sinÔcosO

D'ailleurs, u désignant l'aire du segment OAM, on a

Donc, en remplaçant r par sa valeur, nous aurons

I r^ a'sin'ôcos'ô ,^

ou bien

*^"^ COS'9 (i-Mang^Ô)'*

Pour trouver cctle intégrale, posons