cos"f

d'où

5r=û^tang(p- -j«p

a r^ f \ I cos' 9 I . î .

3 cns**

Il reste a intégrer des expressions de la forme cos"*y <^y, m étant pair. On y parviendra en faisant, dans la formule (F) du n^ 375, X = y.

RCCTIFICATION DE LA CYCLOIDE.

420. On a, en prenant les mêmes coordonnées que dans la Leçon prérédeule (408),

dx^dy^-'-—^;

4ro

par suite,

(h ~- dy

En intégrant cette formule entre les limites zéro et j'^, il vient

5 m arc AM = 2 v/2â 1 —^^iisjiaylx.

Jo 2v(r

Menons-, au point M, ]a tangente à la cycloïde, et ,,. limitons-la au point T où elle

Fig. 90. *

rencontre l'axe des x. Nous ^ avons (249)

Mïr=r sliay;

par conséquent,

arc MA = 2MT,

propriété déjà connue (254).

Si l'on veut avoir la longueur de la demi- cycloïde, il faudra faire j^ = 2 a, ce qui donnera 4« pour la longueur cherchée.

i . Rectifier la courbe

EXERCICES

Parc étant compté à partir de l'axe des y.

2. Soient 0M'= s\ 0M''= / deux arcs ayant une tangente commune à Torigine et ayant leurs tangentes parallèles aux points correspondants W[x\ y'), etM't.r", y"). Soit OM = s une troisième courbe dont un point quelconque M est déterminé par les équations

X — a' x'-\-ar x% y = a' y' -h cry

on aura

TRENTE-CINQUTÈMK LEÇON.

CUBATURE DES SOLIDES.

Solides de révolution. — Application à divers exemples. — Volumes engendrés par la révolution d^une ellipse, d*une cycloïde. — Volumes qui s'obtiennent par une seule intégration. — Volumes terminés par des surfaces quelconques.

CUBATURE DES SOLIDES DE KÉVOLUTIOJV.

421. Soit V le volume engendré par la révolution de Taire plane CAMP tournant autour de l'axe Ox. Si Ton donne à a: un accroissement Ax = PP', le volume V

prendra un accroissement A\ égal au volume engendré par MM'PP'.

Or, si A a: est supposé assez petit pour que j^ croisse ou décroisse constamment dans Tintervalle MM', AV sera compris entre les volumes des cylindres engendrés par la révolution des rectangles MIPP', KM'PP'; nous aurons donc, si y croît, en désignant par Y l'ordonnée M' P',

Fig.

ou bien

TTj^A^ < AV<7rY'Aar,

AV 7r^-< — <7rY».

Ces inégalités changeraient de sens si y décroissait.

AV

Dans tous les cas, le rapport — est compris entre deux

quantités qui convergent Tune vers l'autre, à mesure

4l'i CODAS d'analyse.

que Ax décroît; par conséquent, à la limite,

rfV

y^dx.

11 faudra donc tirer de réquatîon de la courbe la valeur Aq y en fonction de x, et intégrer entre des limites qui correspondent aux extrémités de l'arc générateur.