Le volume engendré par l'aire CMM'C est la
Fig. 92.
di fféren ce des volumes engehdrés par les aires CMPA et C'M'PA.
Alors^ en désignant MP par y et M'P parj>^', on a
c=7r Cy^cix — n i y'^
dx.
ou bien
y=:'!r C(y'-y')dx.
CUBÀTURE DE l' ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION.
423, Soit V le volume engendré par la révolution d'une Fiir. q3, ' portion AMP d'ellipse tournant
autour du grand axe. L'équation de l'ellipse rapportée à son axe et à la tangente au sommet est
y* = — (2ax — a?' ) ;
par suite,
2ax
x^\dx-=. I i
Si l'on fait x =r. ^a^ on aura le volume de l'ellipsoïde
TTÎEIÏTE-CÎNQUIÈME LEÇON.
entier, savoir
Pour obtenir le volume engcudré par la demi-ellipse lourhant autour du petit axe, il faudra changer è en a
et a eu è, ce qui donnera ^Tza^b : on voit que ce volume
est plus grand que le premier.
En faisant &== a dans ces formules, on trouve -r-Tca'
pour le volume de la sphère, et — ^- '— pour le vo-
lume d'un segment sphérique à une base.
VOLUME ENGENDRÉ PAR LA RÉVOLUTION d'uWE CYCLOÏDE.
424. Prenons pour .axe la tangente au sommet et la Piff- 94- normale en ce point. Soit V le
volume du solide engendré par le segment AMP tournant autour de l'axe kx.
L'équation différentielle de la cycloïde étant (408)
dx
__ ^ iia—y__dy
= dr\J
sl2.ajr —y^^
Jo
ce qu'on peut écrire
. V=z7ta j dy^/uay — y' — If j (a — y)dy \j 2,ay -- y^ Jo Jo
La première intégrale représente la surface du segment AQJN (408). Pour obtenir la seconde, posons 2 ay — j*z=lz^
4ï4 COURS D AlVALYSB.
d'où 2 (à — y) djr =zdz : nous aurons
dz
j [a—y)dxsl^ax — x^=.- jj sjl^ = lj z'dz = ^
et, par suite,
Le volume engendré par AQM tournant autour de Ax s'obtiendra en calculant la différence des volumes engendrés par le rectangle APMQ et par la portion de surface AMP.
Fig. 95.
VOLUMES QUI PEUVEJST S OBTENIR PAR UJXE SKUÎ.E
T«TÉG RATION.
425. On peut encore, par une seule intégration, obtenir le volume d'un corps lorsque l'aire de la section faite dans ce corps par un plan parallèle au planj^O-j est fonc tîon de la distance de ces deux plans.
Supposons d'abord les axes rectangulaires : soient « et M-h Ak les sections faîtes dans le corps par deux plans P
et P', parallèles au plan yOz, et dont les distances à ce dernier sont respectivement .r eto:-}- Ax. L'accroissement AV du volume correspondant à l'accroissement Ao: de l'abscisse sera compris entre les cylindres droits qui auraient pour bases respectives u et m H- A x et ùkX pour hauteur^ c'est-à-dire que l'on a, en supposant Au positif,
aA.r<^ AV<^ (a -f- Att)A:c,
d'où
