AV

TRENTE-CI If QDIÈME LEÇOH. 4^5

Or, à la limite, ù^u est nul; on a donc

-— - = tt , OU a V rrr u dx, dx

Celle démonstration suppose que les deux cylindres ne se coupent pas. Si ces deux cylindres se coupent, ils ont une partie commune qui a pour base u — a, a étant une quantité très-petite, et qui s'évanouit en même temps que ùkX, De même, cette partie commune, augmentée des parties excédantes de part et d'autre, formé un cylindre qui a pour base m H- 6, S s'évanouissant avec Aj:. Or AV est évidemment compris entre ces deux quanti tés : par suite

u — a <r — ', ft -^ o, A.r

et en passant à la limite,

— z= u, ou «V 1= ua.T.

dx

i-.e volume compris entre deux plans parallèles hyOz menés à des distances a et i s'obtiendra donc par la formule

V =n f udx.

Pour obtenir le volume du corps entier, il faudra mener des plans tangents parallèles à yOz, et prendre pour limites de l'intégra lion les distances de ces plans au plan yOz.

4î26. Supposons maintenant que l'axe Ox ne soit .plus perpendiculaire au plan des sections. En comparant le volunae compris entre deux plans parallèles à yOz et la surface, avec un cylindre oblique qui a pour base U et pour hauteur la distance des deux plans représentée par ctrsinX. i étant l'angle que faille plan xy avec l'axe Qx, on a

</V =: ttfltesin), d'où V = sinX f udx.

:== sinX I m

On démoTitreraît facilement cette formule avec la rm*me rigueur que la précédente, mais nous croyons inutile de nous y arrêter.

427, Soit, par exemple, un cône à base quelcofi que : Fijj. 96. prenons pour axe des x la per-

pendiculaire OC, abaissée du sommet sur la base, et pour plan des jz un plan mené par le sommet parallèlement au plan de la base; appelons /2 la hauteur du cône et b sa base. En menant à une distance OP = x un plan parallèle kyOz^ Taire de la section sera, d'après

un théorème connu, u = -y-- Donc

et en faisant a: = A, on a, pour le volume du cône, -5- •

428. Soit encore un ellipsoïde rapporté à ses axes principaux^

La section GPH faite dans Fellipsoïde par un plan parai- Fig. g^. lèle au plan yOz^ mené à la dis-

lance OP = a:, a pour équation

On aura, pour ses demi-axes, en faisant successivement -z = o,

GP

TRENTE-CINQUIÈME LEÇOZT. 4*7

De sorte que Taire de la section est

d'où l'on déduit pour le volume V du segment compris entre les plans jOz et GPH,

Pour obtenir le volume de la moitié de l'ellipsoïde, on fait, dans la formule précédente, a: = a, et il vient

Le volume entier de Tellipsoïde sera donc exprimé par ^ Traie.

429. Considérons maintenant un ellipsoïde rapporté à trois diamètres conjugués obliques. Son équation est de la forme

La section faite par un plan parallèle àj^Oz, à udp distance égale à x^ est une ellipse ayant pour équation

et les demi-diamètres conjugués auxquels elle est rapportée

ont pour longueurs —-, y/a'^ — x*, —,sl^'^ — ^5 donc, en

désignant par 0 l'angle que font entre eux ces diamètres, on aura pour la surface de la section considérée

jj- («'»— a:')sinô.

Par suite, on aura pour le volume du segment d ellip-

Stciui. — jÉn,, 1« 2'J

soïde

COUnS D ANALYSE.

7r^'c'sin0sin> C^

ir^'c'sinOsinX

et pour l'ellipsoïde entier

^ 9ra'^VsinGsin>.

430. En comparant cette expression du volume de Tel-; lipsoïde à celle qu'on a obtenue précédemment, on trouve

«'^'c'sinOsin). =:abcy

équation qui démontre que tous les parailélipipèdes construits sur les diamètres conjugués d'un ellipsoïde sont équivalents au parallélipipède rectangle construit sur les axes. On en déduit aussi

itabc = 7:«'^'c'sin0siD>,

c'est-à-dire que tous les cylindres circonscrits à Tellipsoïde et dont les bases sont parallèles aux plans des courbes de contact sont équivalents entre eux.