VOLUMES TERMINÉS PAR DIVERSES SURFACES
431. Imaginons maintenant une surface quelconque Fig. 98. CDEF dont l'équation soit
Supposons que deux plans oM n TTl Ql B parallèles à yOzy menés
aux distances OA =1 a , OB ::= fe, coupent la surface suivant les courbes CD
RJ
et EF. Imaginons encore deux cylindres droits
ayant pour bases, sur le plan yOx^ les courbes RV et ST et coupant la surface suivant les courbes CF et DE. On pourrait se proposer de trouver le volume DCFERVTS, mais il vaut mieux rendre la question plus générale en considérant une seconde surface C'D'E'F', dont l'équation jBSt
et chercher le volume CDEFC'D'E'F'.
Pour cela, menons à une dislance arbitraire x = OQ, comprise entre a et J, un plan parallèle à yOz, et déterminons Taire de la section GHH'G'. Or cette aire plane est comprise entre deux courbes dont les équations
s'obtiennent en faisant, dans celles des deux surfaces, la variable x égale à la constante OQ. Elle aura pour différentielle (z — ^i) <fy^ ^ et z^ étant, d'après les équations (i), des fonctions de y correspondanles à une même valeur de cette variable. On aura donc, en intégrant entre les limites j^ et j^i,
aireGHG'H'= / (z — z,)^/.
Ainsi z — Zx étant une fonction dey dans laquelle x entre comme constante, on trouvera pour Fintégrale indéfinie
(z — «, )djr = 'K (ar, y) -h C.
On fera, dans cette fonction, j^ = (f[x) e\. y =.^ (x) successivement, a; étant regardée comme constante, d'où Ton déduira
/ (z -- Z,) dy = aire GH H' G' = ir[a:,^ {a:)] — it [jc, ff(x)].
résultat qui ne dépend que de x.
4^0 couRft d'analyse.
En régardant de nouveau x comme variable, on pour le volume demandé
j TT [x, ip (J?)]— tr[x,(p (jf)]| dx= I dx j (z—z, ) dy.
Ja Jo (x)
432. Lorsque les deux surfaces cylindriques se réduisent à des plans parallèles à zOy^ cp [x) et ip [x) ne sont plus que des constantes c et e, indépendantes de la valeur OQ de x^ et la formule se réduit à
J/*b ne
' dx \ {z^Z,)df.
a Je
433. Si la surface inférieure se confond avec le plan jy, on aura r, = o, et
/b f*^{sc)
dx \ zdy,
pour le volume compris entre une surface quelconque, le plan xy^ deux cylindres parallèles à Taxe des z et deux plans parallèles au planez Oj^.
434. Ce qui précède peut servir à détermine^ le volume d'un corps quelconque terminé de tous côtés» par une surface dont Téquation F [x^y^ z) = o est connue*.
Imaginons un cylindre circonscrit à la surface, parallèlement à Taxe des Z'^ comme en chaque point (x^y^ z) de la courbe de contact le plan tangent
1 aura I
est vertical, on a
Jz ""''•
L'élimination de z^ enlre cette équation et celle de la surface, donne une équation
qui représente la trace du cylindre sur le plan xy. Celte
courbe est, par hypothèse, une courbe fermée, et, en la coupant par un plan parallèle ày Oz, on aura deux ordonnées j^ = 9 (x) et /i = (fi (x) représentées sur la figure par QI, QK, et analogues aux lignes de même nom dans la question précédente.
De même, ce plan sécant déterminera dans la surface uue courbe fermée, et si 2 = MP, Zi = M'P sont les deux valeurs de z correspondant à la valeur ^ = PQ, Taire de cette section sera exprimée par
Si maintenant on désigne par a et b les distances du jHa.njOz aux plans tangents à la surface, qui lui sont parallèles, on aura pour le volume du corps
dxj (z-z,)dx.
EXERCICES
i. La sphère jc'-h^'-i-z*= r' est percée à jour par les deux cvlindres
jr*-\- x* — rr = o , jr^ -{- x^ "{- rx = o.
Le volume du solide sphérique non enlevé est égal à — r'.
2. Calculer le volume compris entre le plan xy et les surfaces représentées par les équations
tr b^ c
Solution.
fcnboL^
4^^ COrnS D^ ANALYSE.
