VARIABLES

1 . Avant d'exposer le but et les principes du calcul diflerentiel, il est nécessaire d'établir quelques notions préliminaires.

On appelle variable une quantité qui prend successivement différentes valeurs, et constante celle qui conserve une valeur fixe dans le cours d'un même calcul. La nature de la question dont on s'occupe indique quelles sont les quantités variables et les constantes.

2. Quand les valeurs successives d'une quantité variable dépendent, suivant une certaine loi, de celles que prend une autre variable, la première est dite une Jonction de la seconde. On peut affirmer que deux quantités qui varient ensemble sont fonctions l'une de l'autre, lorsqu'on sait qu'à cbaque valeur de l'une d'elles correspond une valeur déterminée de l'autre, quand même la reia-

Sturm. — wrf/i., I. '

2 GOuns d'awalyse.

tion qnî existe entre elles ne serait pas connue ni même

susceptible d'être exprimée analyliquement.

3. On nomme variable indépendante celle à laquelle on donne des valeurs arbitraires^ et fQnction la variable qui prend des valeurs correspondantes. Ainsi l'aire d'un cercle, d'une sphère, est fonction de son rayon; le temps de l'oscillation d'un pendule est fonction de sa longueur.

Une quantité peut être fonction de plusieurs variables indépendantes; par exemple, le volume d'un cylindre droit à base circulaire est fonction de sa hauteur et du rayon de sa base.

Les quantités variables sont ordinairement représentées par les dernières lettres de l'alphabet x, ^, z^ etc.; les constantes le sont par les premières a, ft, c, etc.

Quand on veut indiquer différentes fonctions d'une variable x^ sans en spécifier la nature, on emploie les symboles/ (a:), ^(x)^ F (a:), .... Si l'on donne à x une valeur particulière «, le résultat de la substitution de a à la place de a: dans/ (a:) est indiqué par /(a).

On représente les fonctions de plusieurs variables par

les notations /(x, j, 5j), çf (a:, j, z)^ F (x, j, z),

On indique par/(âr, i, c), (f (a, b. c), F (a, é, c),... les résultats que l'on obtient lorsqu'on met «, i, c à la place de Xj y, ^ dans ces fonctions.

4. Une fonction d'une seule variable peut être représentée géométriquement.

Il suffit pour cela de considérer la variable indépendante X comme une abscisse et la fonction j^ comme l'ordonnée correspondante de la courbe plane définie par l'équation

Ordinairement cette courbe est continue, c'est-à-dire que, pour des valeurs de x qui varient par degrés insensibles, l'ordonnée varie aussi par degrés insensibles^ Y est alors une fonction continue de x.

pkemièhe leçon. 3

On peut de même représenter par une surface une fonction de deux variables indépendantes ; maïs une fonction de trois, de quatre, ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes, n'est pas susceptible d'une représentation géométrique.

5. On dit qu'une fonction est explicite quand elle est exprimée immédiatement au moyen de la variable ou des variables dont elle dépend, de sorte qu'on peut obtenir sa valeur en effectuant sur ces variables certaines opérations indiquées avec précision. Ainsi

= x-h^x^ — a^y jrz=ia'

sont des fonctions explicites de .r.

On nomme fonctions implicites celles qui sont liées aux variables dont elles dépendent par des équations non résolues^ ou par des conditions quelconques qui ne sont pas exprimées analytîquement; telle est jr dans l'équation

^^ — njcjr -h 2J?' — à* z=. o.

La fonction deviendra explicite si l'on tire sa valeur de Féquation, et Ton aura