Extension du théorèue de Maglaurin.» Désignons paru

du du dx dy

On aura

id') ' {t) '*"' ^® ^^ deviennent «, ^j "x.'*"' pourx = o,

i.a.3. ../2 L\û^ dq J^ \dx dy /^ J

expression dans laquelle on doit faire j: = o, / = o, et remplacer h par j:, A par x, p par ^x Qiq par ^y,

175. Fonctions homogènes, /{or, /, z) sera une fonction homogène si l'on a

f[tx,tx,tz) = t^f[x,y,zy,

m est dit le degré de la fonction.

176. Si l'on divise une fonction homogène de degré m par une des variables élevée à la puissance /ti, la fonction ne dépendra plus que des rapports des autres variables à celle-ci, et réciproquement.

177. Les dérivées partielles et du premier ordre de toute fonction homogène du degré m, /(or,/, z) sont des fonctions homogènes du degré (m — i),

178 à 181. Pour toute fonction homogène, on a

du du du -j-x-\- -7- r -I- 3- z = /wtt, dx dy^ dz '

(du . du du \(*) , .

au au au Y' , ,

La somme des dérivées partielles d'une fonction homogène, multipliées respectivement par la variable correspondante, est égale à la fonction multipliée par son degré.

MAXIMUM ET MINIMUM DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

182. AIaximuhs et minimums des FONCTIONS d'une seule variable INDÉPENDANTE. — Soit f(x) uno fouclion d'une seule variable x. Si, en faisant croître a?, la fonction prend une valeur réelle qui surpasse celles qui la précèdent et celles qui la suivent immédiatement, cette valeur de la fonction est dite un maximum. On appelle mi nimum une valeur moindre que les valeurs voisines.

i83. Une fonction peut avoir plusieurs valeurs maximums et minimums, lesquelles doivent se succéder alternativement. Un maximum peut être moindre* qu'un minimum. Un maximum négatif devient un minimum quand on fait abstraction de son signe, et do même un minimum négatif pris positivement devient un maximum.

i84. Les valeurs de x qui* rendent /(x) maximum ou minimum se trouvent parmi celles pour lesquelles /'(a:) devient nulle, infinie •ou discontinue en changeant de signe.

185. Ordinairement restant finie et continue. Dans ce cas, on a la règle suivante.

186, 187. Quand une valeur de ^r annule quelques-unes des dérivées successi ves /'( a: ),/''(j? ),..., si la première dérivée qu'elle n'annule pas est d'ordre pair, la fonction /(a:) est un minimum ou un maximum, selon que cette dérivée est positive ou négative; mais il n'y a ni maximum ni minimum si la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre impair.

188, 189. Maximums et minimums des fonctions implicites d'une seule variable indépendante. — Trois équations :

(0 , j yl-^ïJ, 2, w)-=o,

Pour trouver les maximums ou les minimums de a, on différentiè les équations (i), en y regardant j-, z^\, u coiume des fonctions de:c

46o TABLE ANALYTIQUE

et supprimant les termes où entre -5- j ce qui donne