IX
dx dy de dz dx '
^ dx dy dx dz dx '
d^ d^ dy d*\ dz __ dx dy dx dz iix~ '
On élimine «^ et -j- et Ton obtient une équation,
qui, jointe aux équations (1), détermine les valeurs de x, y^ z et a. L'élimination de -p et de ^ entre les équations (a) peut se faire
en ajoutant ces équations multipliées respectivement par i , Ol et p, et choisissant les indéterminées X et fx de manière que dans le résultat les coefficients de -7- et de -7- soient nuls.
dx dx
190. Fonction explicite F (j:, /, z, li)^ x^ y^z et u étant liées par les équations
<p(j:, J, z, II) =0,
^(x,y. z, ii) = o.
On posera F ( j:, /, z, 11) — c = o, et l'on sera ramené à la question précédente.
maximum et minimum des fonctions de plusieurs variables.
191. Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables INDÉPENDANTES. — Une valsuT particulière et réelle d'une fonction de plusieurs variables indépendantes f(x, /, z) est un maximum, quand elle surpasse toutes les valeurs de cette fonction qu'on obtiendrait en donnant aux variables des valeurs très-peu différentes de celles que l'on considère. On appelle minimum d'une fonction une valeur particulière moindre que toutes les valeurs voisines.
Les valeurs de x, ;-, z qui rendent u=f(x, y, z) maximum ou
DES matièhes.. 461
minimurii se trouvent parmi celles qui rendent les dérivées j- > 7- > -7- nulles, infinies ou discontinues.
i92 et 193. En se bornant au cas où ces dérivées sont continues.
La différentielle totale du premier ordre est nulle.
Si (Pu n'est pas identiquement nulle, il peut arriver trois cas: 1° d^u pourra changer de signe, alors il n'y aura ni maximum ni minimum; a** d^u conservera toujours le même signe, alors u sera maximum ou minimum selon que f/' m sera négative ou positive; 3** d^u sera nulle pour certaines valeurs de A, k, /, mais sans jamais changer de signe. Alors on ne peut dire si la fonction est un maximum ou un minimum, et pour avoir une conclusion il faut pousser plus loin le développement de A«.
Pour que d^u ou la fonction
AA'-h BA-^ -h C/^+ aDM 4- aE/i/ -+- 2F/-/
soit positive pour toutes les valeurs réelles de A, ^ et /, A n'étant pas nul^ il faut que l'on ait dans le cas du minimum
Maintenant, on peut écrire d^u sous la forme
si l'on pose, pour abréger,
Ces conditions sont sufi^antes.
