Les fonctions qui se présentent sous la forme -5 pour

une certaine valeur de la variable, ont souvent des limites.

sin «37 Nous en avons un exemple dans le rapport ? qui de-

vient - pour a:= o, et qui a pour limite l'unité. De même Texpression

jc^ — a'

prend, pour a: = a, la forme -• Toutefois, si Ton donne

à X des valeurs différentes de a, mais qui s'en approchent successivement, les valeurs de^' sont déterminées et égales d'ailleurs aux valeurs de l'expression

Or, à mesure quex s^approche de plus en plus de a, cette dernière expression diffère de moins en moins de

na ou — •

La limite des valeurs de^ est donc -*

8. Une quantité variable peut s'approcher indéfiniment d'une limite en restant toujours plus petite ou toujours plus grande que cette limite; mais il peut se faire qu'une quantité variable devienne alternativement plus grande et plus petite que la limite vers laquelle elle tend, en oscillant, pour ainsi dire, de part et d'autre.

Ainsi le rapport tend vers zéro quand x croit in-

définîment. En même temps, toutes les fois que x devient

égal à un multiple de la demi-circonférence, de-

vient o, et change de signe.

9. Si deux quantités qui varient simultanément res-tent constamment égales entre elles, dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent^ et si Von saitque Vune d^elles tend vers une limite, il est éi^ident que Vautre tend aussi vers la mêrtte limite ou vers une limite égale à celle-là. C'est là le principe de la méthode des limites dont on fait un si grand usage dans toutes les parties des mathématiques.

Ainsi, veut-on prouver que le cercle a pour mesure le produit de sa circonférence par la moitié de son rayon; en désignant respectivement par a, p, r l'aire, le périmètre et Tapothème d'un polygone régulier inscrit dans

le cercle, on a

or a et p X - r sont des quantités qui varient avec le nombre des côtés, mais qui restent toujours égales entre elles;

leur^ limites sont donc égales. Si A, C, R désignent respectivement Faire, la circonférence et le rayon du cercle, A est la limite de a, C celle de p et R celle de r : donc

Ar=:Cx-R.