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212. Différentielle d'un arc de courbe. — I^ longueur d'une courbe est la limite vers laquelle tend le périmètre d'une lign^ brisée inscrite dans celte courbe, lorsque ses côtés sont de plus en plus petits, et que leur nombre croit jusqu'à l'infini. Ce périmètre a une limite déterminée.

arc CM = .?, ds = \]dx^ -+- dy^,

214. Limite du rapport de l'arc a sa corde. — Nouveaux théorèmes sur les arcs considérés comme limites de polygones. — La limite du rapport d'un arc quelconque à sa corde est l'unité.

Stdrm. — An,^ I. 3o

215. Si cef. . .r/ est un contour polygonal d'un même nombre de côtés que le contour CEF. . . D; si, à mesure que les sommets C,

Fig. 2/|.

E, F,... se rapprochent de plus en plus, les côtés ce^ ef^ etc., tendent de plus en plus à devenir égaux aux côtés correspondants CE, EF, etc., en même temps que le nombre de ces côtés va en augmentant jusqu'à Tinfini, le contour polygonal c^/. ..f/aura même limite que le contour CEF...D,' c'est-à-dire la longueur de l'arc CD.

216. Si Ton mène entre les deux ordonnées extrêmes Câ, DB un nombre indéfini de parallèles à Taxe des y, puis que Ton inscrive entre ces parallèles d'autres lignes droites, tangentes à la courbe, la somme de ces dernières tend vers une limite qui est encore la longueur de la courbe donnée, même quand elles ne forment pas une ligne brisée continue.