La différentielle du secteur POM est aussi égale à
-(xflf—fdx).
222, 223. Différentielle d'un arc de courbe,
ds = \/dr^-hr'd(i\ sinpi = 224. Applications.
I** Ellipse: r =
rdB
cir
-37' '"^V- = Ts'
p i4"<?cosô '- T7 tangi:ji= ,—z —
a" Spirale d'Archimède : r= «ô, tangf* = 0, S, = aB\ S„ = a, 3° Spirale hyperbolique : rô = a, tangp = — ô, S, = — «. 4* Spirale logarithmique : r= ab . ♦
La tangente fait un angle constant avec le rayon vecteur qui passe par le point de contact.
L'extrémité de la sous-tangente décrit une spirale égale à la première, mais située différemment.
L'extrémité de la normale décrit aussi une spirale égale à la première.
2Ê5, 226. Des coordonnées bipolaires. — Dans ce système de
coordonnées, on détermine la position d'un point sur un plan par ses distances r et r' à deux points fixes A et B. Soit /(r, r') = o Téquatinn de la courbe CM. Soient AM = r, BM = r', AMT = a, BMT = 6 :
COS a dr COsS ~ dr'*
Fig. 32.
théorie du contact des courbes planes.
227, 228. Contact de divers ordres des courbes planes. Soient deux courbes
si
les deux courbes MN' et MN ont un contact de Tordre n.
Par un point commun à deux courbes qui ont un contact de l'ordre /?, on ne peut faire passer entre ces deux courbes aucune autre courbe ayant, avec l'une des deux proposées, un contact d'un ordre inférieur au /i''"".
229, 230. L'ordre du contact est indépendant du choix des AXES, pourvu que Taxe des ordonnées ne soit pas parallèle à la tangente commune aux deux courbes.
231. Caractères géométriques d'un contact d'ordre pair ou IMPAIR. — Quand deux courbes ont entre elles un contact d'ordre impair^ l'une des deux embrasse l'autre, et deux courbes se traversent mutuellement au point de contact, quand elles ont un contact d'ordre pair,
232, 233. Des courbes osculatrices. — Si l'équation d'une courbe renferme w 4- i constantes arbitraires, âr, ô, c, . . . ; si l'on détermine les constantes <?, b^ c, etc., de manière à obtenir un contact du /z'*""' ordre avec une courbe donnée j = /(j:), parmi toutes les courbes de même espèce représentées par l'équation proposée, celle qui répond à ces valeurs des constantes est dite osculatrice à la courbe y=f[x)*
234. Du CERCLE oscuLATEUR. — Soit OU coordonnécs rectangulaires l'équation d'une courbe ;
l'équation du cercle osculateur : on aura pour déterminer |, ^, p les trois équations
dy^ , , d^Y
On tire de ces équations :
233. Il faut prendre le signe 4- ou le signe — suivant que -^73-
est > o ou <o.
Le centre du cercle osculateur est toujours dans la concavité de la courbe.
La droite qui unit le point de contact au centre du cercle osculateur est perpendiculaire à la tangente commune.
Le cercle osculateur traverse la courbe, excepté en certains points particuliers, où le contact est d'un ordre supérieur au second.
On appelle souvent le cercle osculateur cercle de courbure; son centre et son rayon centre et rayon de courbure,
236. Dans toute section conique, le rayon de courbure est égal au cube de la normale, divisé par le carré du demi-paramètre.
