Soit
doiiTîons à X un accroissement quelconque A, positif ou négatif. Soit A raccroissement correspondant de y 5 on a
y -\- kz=zf[x-^ h]\
puisque la limite de j est j*', on doit avoir, quand // n.Vst pas nul,
a étant une quantité, fonction de x et de //, qui doit tendre vers zéro en même temps que h. De là résuhc
kr=i y' h H- a//.
Ainsi raccroissement h de* la fonction se compose de deux parties distinctes j la première y' h est le produit de l'accroissement de la variable indépendante x par la dérivée de la fonction. On l'appelle la différentielle de la variable j^, et on la désigne par dyi^ de sorte que
dy^=zy'h ou f'{.v)h,
La seconde partie est le produit de h par une quantité a qui s'annule avec A : on ne s'en occupe pas.
La différentielle de la variable indépendante n'est autre chose que l'accroissement A. En effet, considérons la fonction
on a
par suite, et en tin
kr-rh,
Sturm. — -<^«.. 1.
s 8 couKs- d'awalyse.
Ainsi, pour celte fonction de x qui est la plus simple de toutes^ la dérivée est i ; par suite, ladifTérentielle
d) ou djc =z 1 '^ fi =iz II, Par conséquent, la formule
dy~y'h
peut s écrire
d'où l'on déduit
, dr
*^ dx
Ainsi la dérwée d'aune fonction d^une variable est le quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable. C'est pourquoi on appelle aussi la dérivée rappon différentiel ou quotient différentiel.
On dit encore que le quotient différentiel est la dernière raison (ou le dernier, rapport) des accroissements simultanés des variables. Mais les accroissements, élant nuls à la limite, n'ont pas à proprement parler de rapport, et ce que Ton appelle ainsi n'est que la limite dont le rapport de ces quantités approche îndéûnînient.
21. La différentielle est susceptible d'une représentation géométrique. En effet, soit AMB la courbe repré-
Fig. 3. scnlée par l'équation
On a
tangIMN = lim ■- r=r j'.
Or
IN =z MN tangIMN.
m = hy = dy :
ainsi IN représente la différentielle de^, si d'ailleurs
MN z=h = dx.
DEUXIÈME LEÇOir. ip
On Yoîl par là que dx et dy sont les accroissements correspondants de X et de fy quand on passe do point de contact M situé sur la courbe à un point quelconque I de la tangente, tandis que k ou M'N est T accroissement de Tordonnée de la courbe correspondant au même accroissement h = dx de r abscisse.
22. Toutefois, quoique IN et M'N soient en gênerai différents, leur rapport tend vers Tunité; en effet,
Je j = j^'-f- a, on tire
d'ailleurs, donc
djr—fhj
et, si y n'est pas zéro,
zéro,
djr
ainsi le rapport de V accroissement de la fonction à la différentielle de cette fonction tend vers Vunùéy pourvu que la dérivée ne soit pas nulle.
C'est pourquoi la différentielle est appelée Taccroissement iniiniment petit de la fonction 5 mais cette dénomination n'est pas rigoureuse, puisque a n'étant pas nul (si ce n'est pour y = ax 4- i)? k n'est pas précisément
c'galàrfr(*)-
FAOPB.IÈTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS DÉIVIYÉES.
23. La relation (n«22) conduit à plusieurs conséquences remarquables»
C^) On peut dire que la différence entre la différentielle d^une looction el raccroissement de cette fonction est un iniiniment petit di^ second ordre an moins, raccroissement de la variable étant du premier ordre.
COURS D'AKALYSE.
Attribuons à x une valeur déterminée, y' aura aussi une valeur déterminée; si Ton donne ensuite à x un accroissement suffisamment petit, le signe de ^'4- a sera le même que celui dej^', puisque a peut devenir aussi petit que Ton voudra 5 le signe de k sera donc celui de r'/z, et comme nous supposons h positif, k aura le signe dejr\ Donc, s\ y est positive, k est positif, c'est-à-dire que la fonction augmente, et sij^' est négative, la fonction diminue. Ainsi une Jonction croît ou décroît à partir d'une valeur déterminée de x, suii^ant que sa dérii^ée est^ pour cette valeur^ positivée ou négativ^e.
Il résulte de là que, si la dérivée d'une fonction reste constamment positive lorsque x varie depuis la valeur a jusqu'à la valeur è, la fonction croîtra continuellement dans le même intervalle*, ce sera le contraire si la dérivée est négative.
Prenons pour exemple la fonction
- J7^ — ix^ -f- 3^7+ I.
Construisons la courbe représentée par celte équation
Fig. 4.
Pour j:=:ioonaj-=i,
xr=--i.
En construisant ces différents points, on reconnaît que la courbe présente à peu près la forme MM'M'^M'''.
Mais si Ton veut savoir pour quelles valeurs de x l'ordonnée va en croissant ou t^u décroissant, on prendra la
dérivée dey. On aura
On voit alors que si l'on fait croître a: de o à i , la dérîvéey' est positive; l'ordonnée ira donc en augmentant depuis le point M'jusqu'au point M". Pour le point M'', dont l'abscisse est j: = i, on 9,y' = o, c'est-à-dire que la tangente en ce point est parallèle à l'axe des x. Si Ton fait croître ensuite x depuis i jusqu'à 3, la dérivée y devient négative; l'ordonnée va donc en diminuant depuis le point M'' jusqu'au point M"'; et comme J^ •= o pour X = 3, la tangente en ce dernier point est encore parallèle à l'axe des x,
EnQn, si l'on donne à x des valeurs croissantes à partir de 3, la dérivée j^' est constamment positive; l'ordonuée de la courbe va donc toujours en augmentant à partir du point M"'. Si l'on donne à x une valeur nt'galive quelconque, j' est positive, et par conséquent pour des valeurs négatives de X et croissantes, les valeurs correspondantes de l'ordonnée vont encore en augmentant. 11 faut bien remarquer qu'une quantité négative augmente quand sa valeur absolue diminue.
