On déduit de la formule

que si la dérivée d^une fonction est nulle pour toutes les valeurs de x comprises entre aet by cette Jonction a une valeur constante dans cet intervalle.

Nous supposerons a <^b. Puisque Km j = o par hypothèse, on aura, pour une valeur quelconque de x comprise entre a et 6, y <^ e en valeur absolue, pourvu que h

soit suffisamment petit; e étant d'ailleurs une quantité déterminée qu'on peut prendre aussi petite que l'on vour dra. Ou déduit de là k <[ e/i.

Considérons actuellement deux valeurs quelconques de x, Xi et^Tj, comprises entre aei b ; je dis que les valeurs rorrespondantesj^i ety^ seront égales. En effet, donnons à X une suite de valeurs comprises entre Xi et Xt, croissant d'ailleurs par degrés égaux ou inégaux, mais assez petits pour que l'on ait, pour une quelconque de ces valeurs, k <^eh^ k étant pris en valeur absolue. Nous aurons ainsi une suite d'inégalités delà même forme: et si nous les ajoutons, il en résultera que la somme des accroissements successifs de la fonction y pris tous positivement sera plus petite que la somme des produits ê/i, c'est-à-dire plus petite que le produit de la quantité e par la somme des accroissements de la variable x, savoir JTj — Xi, Donc, à foitiori^ la somme des accroissements successifs de la fonction pris avec leurs signes, ouym — ;j^i, est plus petite que e [x^ — Xj ) -, donc

et comme e peut être rendu aussi petit que Ton voudra, il s'ensuit que la différence y^ — y^ est plus petite que toute quantité donnée, c'est-à-dire nulle : on a donc

r»— r» = o> ou jj=r,.

La fonction j^ conserve donc la même valeur pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle considéré : ce qu'il fallait démontrer «

2o. Le rapprochement des deux propositions précédentes conduit encore à cette conclusion^ que si une fonction est croissante dans un certain inters^alle^ sa dérivée ne peut det^enir négativ^e dans cet inten^alle; mais elle peut passer une ou plusieurs fois par zéro. De même, si une fonction est décroissante ^ sa dérii^ée sera négatii^e^ mais elle pourra s'annuler pour une ou plusieurs valeurs pan iculi ères*