Si la dérivée d'une fonction était constamment
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infinie, j? serait une consUnle; car si
lim - = GO , on a liiii -7 = 0, h k
et par les mêmes raisonnements (24), ou déduirait de là que deux valeurs quelconques de x sont égales (*).
27. Nous avons désigné jusqu'ici les accroissements simultanés des variables x eij par les lettres h et h\ mais comme on aura bientôt à considérer un plus grand nombre de variables, il devient nécessaire d'employer nnc notation qui rappelle toujours à quelle variable se rapporte chaque accroissement. On se sert à cet eflet de la caractéristique A. Ainsi, quand on considère plusieurs variables x,/, z^ u liées entre elles par des équations, de manière qu'une seule soit indépendante, on représente les accroissements simultanés de ces variables par Ax, ^j^ A^, ù^u. Si l'on prend x pour variable indépendante, les rapports
Ar ^z au ^JS àx ^x
auront pour limites respectives
fiy dz dn dx dx dx
quand Ao: décroîtra indéfiniment.
28. Lorsque deux fonctions sont égales pour toutes les valeurs de la variable indépendante^ leurs différentielles ou leurs délivrées sont égales.
En effet, soient u et s^ deux fonctions égales de x. Donnons à a: un accroissement Ar; soient A^^ et Ai^
C*) La dérivée d'une fonction continue ne pouvant ôtre nulle ou inHaie que pour des valeurs particulières de la variable, il en résulte qu'en général raccroissement infiniment petit d^une fonction est du même ordre que raccroissement de la variable.
les accroissements correspondants de u et de \^\ on aur.»
« -t- A« =: P -f- Acj et, comme a = J',
d'où
A // àv
Cette équation, ayant lieu quelque petit que soît Ajr,
aura lieu encore à la limite: or la limite de — est la dé-
Ax
rivee de u ou - : de même la limite de — est -y-', donc
€IX A X (Ix
du do
-— •=! —- OU du == rti».
La même conclusion subsiste quand les deux fonctions proposées ont une différence constante*, car, soit
uz=L\}-r-c\ en changeant x en a: -4- Ajr, on a
tt -H A a = p -h ûf p -t- c,
et comme a =^ p» -H c, on a encore
A // A p A tt = A p, — = — \ A.r Awt'
par suite.
ou enfin
du dx
du " dx'
du -
= dç,
c'cst-n-dire que deux Jonctions qui ont une (lijfcrencc constante ont la même différentielle,
29, Réciproquement, si les différentielles de deux fonctions sont égales entre elles^ dans un certain intcr-
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ualle^ ces fonctions auront^ dans cet infen^alle^ une ffifférence constante.
En efTet, soit y la ditïerence u — j^, et supposons que
1 on aiL
(lu dv
iix dx
De réquatlon on tire
Ly au ai' Ajc Ax Ax
OU enfin, en passant à la limite
ffr du dv dx dx dx
(ly
Ainsi — est nulle, et par suite y est une constante : ce qu'il fallait démontrer.
DES FOJNCTIOJSS DE FOKCTIOÎÏS.
