Soit maintenant
on a
d[uuz) nzz vz du H- ud (fz), d {uz ) = z do -+- vdz ;
donc
d [uvz) z= vzdu -T- uzdv -f- uvdz.
Ainsi la différentielle du produit de trois fonctions s'obtient en multipliant la différentielle de chaque fonction par le produit des autres fonctions, et ajoutant les résultats.
Cette règle est générale. Ainsi Ton aura
d [uuz. . .t) z= t'z. , .tdu -h az. ..tdi> -f- uv . . rdz-\-. . . -f- itv. .,dt
ou, en divisant par uk>z . . . f,
diuvz. . . t\- du dv dz dt
upz. . .t u i> z t
On démontrera cette formule, soit directement, soit en faisant voir que si elle est vraie pour un certain nombre de facteurs, elle aura encore lieu quand on prendra un facteur de plus.
DIFFÊUEIfTIELLE d'uW QUOTIENT.
38. La différentielle du quotient de deux fonctions se déduit facilement de la différentielle d'un produit. Soit
TROISIÈME LEÇON. 3l
on en lire
yv=zu, el, par suite,
f>djr -{-jrdi^ =: du.
On remplace y par sa valeur - et l'on obliciit
d'où l'on tire
u vdy H dpzzndel;
, , « vdu — u du dy ou d — •=:
Ainsi la différentielle d^un quotient est égale an dénominateur multiplié par la différentielle du numérateur, moins le numérateur multiplié par la différentielle du dénominateur^ le tout divisé par le carré du dénominateur.
CXi arrive encore à ce résultat par une méthode plus
directe. On a
ou
et, par conséquent,
Au A ('
Ay 'Ax Ax
Ax c{p H- Av) '
passant à la limite^
ou enfin
du dç
dy d.r dx
dy
u vdu — ndi^
OU a —
Si le numérateur u claît constant, la différentielle d se réduirait a —•
?H>. COUKS D ANALYSE.
DIFFÉRENTIELLE d'uNE PUISSA^'CE•
39. Soit y z=. u'", m étant un nombre entier et positif: nous avons vu (37) que
Supposons que les facteurs m, i^, 2, . . . , t au nombre de m deviennent tous égaux*, on aura
d.u"'z=mu'"-^ du.
Ce résultat est aussi une conséquence immédiate de la rèele des fonctions de fonctions. On sait que si l'on a
fz=t^(u) et u~f[x),
on aura
dy = y' [u)du\
donc, puisque •
d,af"=^ mx"'-^dx,
on aura aussi
d,u"'=:z m 11"*^^ du.
\'oici enfin une troisième méthode. Donnons à a: un accroissement quelconque Ax et soit U ce que devient u 5 nous aurons
et, à cause de^ ==. w'",
Sx = U"' — «"•=: (U —- «) (U'"-* -h V"-^ a -f- , . . -"I- «'"-» ), d'où
Ax Ax ^
Si Ton passe à la limite, U se confondant alors avec 21,
on a
dy du
— = -— X /»«"*"* ou dy = muT*^^ du.
(tx dx
