DIFFÉRENTIELLE D^UNE EXPRESSION IMAGINAIRE

43. On sait que les expressions imaginaires résultant du calcul algébrique peuvent toujours se réduire à la forme

Si, comme en Algèbre, y/ — i est assimilée à une constante, on aura, par le changement de x en x •+- Ax,

j-+-Aj = tt-l-Att-|-(t'4-Ap)y/ — I,

et comme

X u-\-Psl — I,

on aura

Ly A« -\~ ^vs| — I ;

d'où

Ax Ajc à.r

et, n la limite,

dy du du y dx dx dx OU enfin

dy ou d[u -^ V si — \) z=z da -\- dv ^ — i . Ainsi la différentielle d'une expression imaginaire s^ob-

tîenl comme celle d'une somme, pourvu toutefois que l'on traite sj — i comme un facteur constant.

APPLICATIONS

44. Les règles précédentes suffisent pour différentier toutes les fonctions algébriques explicites. 1** Soit d'abord

Pour différentier celte fonction, on la met sous la forme

et Ton obtient

dy z=L —bx ^ dx '\- cx^^dx =: = H :

2 i)Jx ^^ '

d'où l'on tire

dy h c

bec

yjX' X yJX ^■

y = a -\~ hx * — ex * -f- ex^'.

Différentiantj on a

= 1 — -^bx *H-^cj7 *— 2ea:-3 j ^j^ ( nb Ac ie\ ,

d'où enfin

dy dx

y {a-f- bx")'".

Posons

a -t- bji" 1= f/ ;

ou a

par suite,

doue

COURS D ÀNÀLYSIS.

dy = mu'^~'^ du, du ^=: nbjo^^ dx\

dy z= mnb [a -f- ^^)"" ' x""' dx.

43. Nous allous moutrer raaiuienanl comment le cal* cul différenLÎel s^applique à la détermination de courbes jouissant de propriétés données.

1° Tromper une courbe telle, que la sous-normale NP ait. pour chaque point^ une longueur constante a.

On aura, en supposant les coordonnées rectangulaîies-

NP=:MPXtangPMN.

Mais

MF ::=^, lang PMN =: lang MTN = ^ :

itJC

FiR. 5.

De là on tire

Il faudra donc poser

rdy

ydy = adxy

:^ydy =^ nadx.

2ydy=:zd{y^]