DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS COMPOSÉES

46. Après avoir différentié une fonction d'une variahle indépendante, nous allons apprendre à différentîer une fonction composée de plusieurs fonctions de cette variable, et d'abord de deux. Ainsi, soit

Il et p» étant deux fonctions de la variable indépendante; lorsque x devient x ■+- Aj:?, les quantités ii^ i^, y deviennent respectivement u-h Aa, t^-{- Ap», j'--\- Ay. Mais, au lieu de changer à la fois u en ii H- A«, et i^ en p» H- Ap» dans /[uj^), il revient au même d'effectuer ces deux changements l'un après l'autre. Ainsi, l'on remplacera d'abord li 4- Aw, en conservant à ^» sa valeur actuelle, d'où résultera pour ^ l'accroissement

Divisons cette différence par Au, et passons à la limite,

en regardant u comme invariable. On aura

On aurait, de même

ùiif dv ^ ^ ^

donc, en représentant par a une fonction qui s'évanouît avec A M, quel que soit f^, et par 6 tine fonction qui s'évanouit avec A^, quel que soit i/, on a

(1) /(/4-f-Att, P)— /(«,p)=r:[<p(rt, t^)-ha]Aa,

(2) f[tt, o -4- Ap) -/(«, P) = [>!;(«, P) -+- 6] Ap.

Changeant u en « -h Au dans Téquation ('2), il vient

j /(« -4- Aw, ('-f- A(/) — /(w-f. A«, j')

( =[>!;(w-t- AajC^JH-ê'jAt',

6^ désignant ce que devient S quand on y change u en « -f- Aw, et s'annulant comme S en même temps que Ai'. Ajoutant maintenant les équations (1) et (3) membre à membre et divisant par Aj:, on a

f{u -+- Att, V + tkv) — /(«, v)

== [(j, ( «, i») -+- a] ^ 4- [,[/(« 4- Att, P) 4- 6'] ^5

ce qui devient, à la limite,

dy , .du . . .dp

OU

OU enfin

df = <f (//, p)du -h^{u, p) dPf

(4) clx = ^du-h^dP.

du dp

Il faut observer que, dans les dérivées partielles ~- et ^5

4o COURS d'analyse.

les variables u eii^ doivent être considérées comme indépendantes, tandis que, dans les facteurs du et di^ qui multiplient ces dérivées, on doit regarder ii et J' comme des fonctions de x.

47. Une formule analogue à la formule précédente a lieu pour une fonction composée d'un plus grand nombre de fonctions de la variable indépendante. Ainsi, soit

On a

àjr z=if{n-\-^U,P-^ Ap, 2 -f- As) —/(«,«», z).

Si Ton pose

on aura, d'après les considérations qui précèdent, ' ( I ) /(« -f- A£/, P, z)—/{u, Py z) — [fp(//, «s z) -f- a] Att,

■(2) /(/£, u -4- Ap, z) —/{li, I', z) =z [^^ (tt, P, z) -h 6] Acs

(3) /(//, p, ZH- Az) — /(w,P, z)— [x(u,v,z) 4-7]Az.. Faisant varier /^ dans Téquation (2), on a

Faisant varierii et i^ dans l'équation (3), on a

( /("' + A//, c-^ A«», z -\- Az) — /(// -h A«, P-f- A»', z)

I — [;j(w -f- Aw, p-f- Ap, z) + 7']Az.

Ajoutant les équations (i), (4) et (5) membre à membre, et divisant par Ax, il vient

^ =: [(p (W, P, 2) + «] ^ -i- [rKlH- A«, P, 2) -f- 6'] ^

Az

et, à la limite, on a

cfr . .dii^, .dv , , dz

TROISIÈME LEÇON. ât

OU enfin

(6) dr=^du + ^J:d.+ ^-fcb.

au di' clz

De là on peut conclure en général que la différentielle d'aune fonction y ^ composée d'un nombre quelconque de fonctions de la variable indépendante, s^ obtient en prenant successii^ement la différentielle de la fonction y ^ par rapport à chaque fonction de la "variable indépendante, dans laquelle cette ^yariable seule serait suppo^ sée varier, et ajoutant toutes ces différentielles.

Cette règle comprend comme cas particuliers toutes les précédentes sur une somme, une différence, un produit,. . . de fonctions.

EXERCICES