NOTIONS SUR LES SÉRIES

Défîpitions. — Théorèmes sur la convergence des séries. — Application h

des exemples. — Limite de ( i 4 J

DÉFINITIOKS.

48. Avant de passer à la différen dation des fonctions transcendantes, il est nécessaire d'établir quelques notions sur les séries.

Une série est une suite composée d'un nombre infini de termes formés tous d'après une loi déterminée. On représente ordinairement par S„ la somme des n premiers termes d'une série. Ainsi, Mi, i/j, i/3,. . . , «„ désignant les termes successifs de la série, à partir du premier, on pose

S„ = tt| -4- «2 -4- «3 H- . . . -f- tt».

Si, à partir d'une valeur de n suffisamment grande, S„ approche indéfiniment d'une limite finie et déterminée, quand on prend n de plus en plus grand, on dit que la série est convergente, et la limite S vers laquelle elle tend est appelée la somme de la série. La différence S — S„5 que Ton désigne par R„, se nomme le reste de la série. On a donc, par définition,

R„ = S — S„, ou S = S„-f-R».

Si la somme des n premiers termes n'approche pas in définiment d'une limite fixe, quand n augmente indéfiniment, la série est /iiVcrg'e/ife.

Une des séries les plus simples est la progression géométrique

Cette série est convergente, lorsque la raison k est plus petite que l'unité. En effet, on a, quel que soit A^,

ou

a ak^

ak^ Or, si la raison h est moindre que l'unité, 7 peut

devenir aussi petit que l'on veut, et dès lors -. est la

limite vers laquelle tend S„. Si, au contraire, on a ft ^ i,

ak^ la quantité j peut surpasser toute grandeur donnée,

et la série est divergente. Il en est de même si A: = i.