LIMITE DE

(iH I QUAMD m CROIt IKDÉriJNlMEWT.

58. Le nombre e est la limite vers laquelle tend la quantité ( i H j quand m croît indéfiniment.

Supposons d'abord m entier et positif. On a

I H =zi-\- m < h — • -— -h . .

ce qu'on peut écrire

m \ ffi J \ m

aug

Les termes de ce développement au nombre de m sont tous, à partir du second, plus petits que les termes de même rang dans la série qui représente le nombres, et ils

mentent avec w, d'où il suit que ( i-f-.-— ) augmente

avec /7i, en restant toujours <^e. Les numérateurs des premiers termes, qui sont

approchent indéfiniment de Tunité, quand m croît jusqu'à l'infini*, et, par conséquent, ces termes tendent à devenir égaux à ceux de la série e. Mais il n'en est pas de même pour les termes très-éloignés, car si, par exemple, n — i

était la moitié de m, le facteur i ? dans le

j^ième terme, serait -» et le numérateur de ce terme serait '2

<^ -• Cependant, en prenant m très-grand, et négligeant

dans les deux séries les termes très-éloîgnés qui font une très-petite somme, on conçoit que Tune des séries diffère infiniment peu de Faulre, et qu'ainsi f H | doit

s'approcher indéfiniment de e,