Au surplus, en voici la démonstration irès-rîgou

reuse. En s^arrètant au n''"" ternie, on a

Quelque grand que soit /i, on peut prendre le nombre m, qui est indépendant de ti, tellement grand, que le numérateur

qui est inférieur à Tunité, surpasse i — e, e étant un nombre déterminé aussi petit qu'on voudra. Car ce

I ) 5 il suf-

Gra de poser

d'où l'on tire

Alors, dans le développement de ( i -h — j , les numérateurs des termes jusqu'au /i'**"* étant tous > i — ; e, on aura, en les remplaçant par i — e et négligeant les termes qui suivent le «****•,

et à fortiori

puisque la somme

(qui multiplie e) est

<r — ! h.,, ou <i.

On a d'ailleurs (57, 6*>)

tf <;2H h. . .H r h

Ayant ainsi deux quantités qui renferment entre elles e et ( iH j 9 on aura, en comparant les différences,

<?—!+-< 5 ht,

\ /it/ i:2.,S. , ,n n

et comme on peut supposer n aussi grand et e aussi petit qu'on veut, en faisant croître m à riiifini, on voit que e

est la limite vers laquelle tend ( iH j •

60. On obtient la même limite quand m cesse d*être un nombre entier. Dans ce cas, m tombe entre deux entiers consécutifs p et p -f- 1, et Ton a

Quand m croit, ces deux quantités, entre lesquelles la

valeur de ( iH ) est toujours comprise, tendent l'une

et Tautre vers la limite e (puisque p est entier). Donc I iH 1 a la même limite.