DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

DifTérentiation des fonctions logarithmiques, — des fonctions exponen- . tielles, — des fonctions circulaires directes, — inverses.

FONCTIONS LOGARITHMIQUES.

63. Soîtj^ le logarithme de .r dans, le système dont l.i base est a, de sorte que

On a

d'où

Ajr=:\oQ(.V~h ùiX)—- logj: = log ( iH j

et

Ar '"^''"^

Ax àx

Si Ton pose Aa: = -— , on aura

Ar

— = — log ( IH I = - log { iH

Si Ton fait croître m indéfiniment, Ax diminuera jusqu'à zéro, et ( iH ) atteindra sa limite e (58) \ donc

Ar dy i

lira — ou -— r- -

Aj: dx X

d'où

dx dy ou d.\Q^xz=i — loge.

64. Quand on prend le nombre e pour base, les logarithmes appartiennent à ce qu'on appelle le système népérien : nous les désignerons par 1.

Dans ce système, on a le = i, et, par suite.

dx

Il est facile de passer d'un système quelconque au système népérien, et vice versa.

En efTet, Téquation

donne

En faisant x = e, il vient

I = log^.la,

d'où

puis

iog. = jL,

logx = la? X p = 1 Jc X loge.

Le facteur constant r- ou loge, par lequel il faut multiplier le logarithme népérien d'un nombre pour avoir son logarithme dans le système dont la base esta, est appelé le module de ce dernier système. Quand a= lo, le module est

logtf = 0,434294^*

En multipliant les logarithmes des Tables ordinaires par j— p ou l.io qui est a,3o2585i, on aura les logarithmes népériens.

65. La règle de la différentiation des logarithmes est souvent utile pour différentier d'autres fonctions.

Ainsi, on peut s'en servir pourdifférentîer m"*, quel que

soit m, u étant une fonction de la variable indépendante.

On pose

y =1 u*^, d'où \y = m\ «,

et, en différent! au t, il vient

djr du

ou

d. «"• = wa""' du.

Soit encore un produit de plusieurs fonctions de x, tel que y = ufz.

Comme il pourrait y avoir des facteurs négatifs, élevons au carré, et prenons les logarithmes^ il viendra, après avoir différentié et divisé par 2,

djr du dtf dz

résultat déjà obtenu par une autre méthode*