ÉLIMINATION DES CONSTANTES

83. Entre une équation donnée et l'équation qu'on en lire par la diiFérentiation, on peut éliminer une constante \ il en résulte une nouvelle équation qui exprime une propriété de la tangente, commune à toutes les courbes que

yot COURS d'anaiyse.

représente réquation proposée, quand on y donne différentes valeurs à la constante.

Ainsi, soit

on en lire

puis, en éliminant a,

dx

C'est-à-dire que, dans toutes les paraboles qui ont le même axe et le même sommet^ la sous-tangente est double de P abscisse du point de contact, quel que soif le paramètre na.

L'équation

qui représente une suite de paraboles ayant le même axe Fig. 6. et le même foyer, conduit,

par réliminalion de a, à réquation

dx

dx a M

d'où

ou

mais

dy — a: -h sjx'^ -h

dx

dy

x-^y — = slx^-\-y^'^

j:=:FP, j^ — PN, sl^^ H- r ' = FM ;

on aura donc

FM = FN, puis FM = FT.

C'est-à-dire que dans toute parabole le foyer est également distant des points ou la tangente et la normale rencontrent l'axe y ainsi que du point de contact.