ÉQUATIONS

84-. Deux fonctions implicites dex, savoir j^ et s, ctanl données par les équations

on peut obtenir -— et -- sans les résoudre. En elFet, si

l'on pqrtait dans les équations (i) et (2) les valeurs à^y et de z en fonction de x qu'elles déterminent, savoir r = cj> (:t) et z = »]/ ( jtr), les premiers membres

/[.r, <p(.r), ^ {x)\ F[ar, 9 {x), ^ [x)\

seraient identiquement nuls; donc leurs différentielles seraient nulles aussi. II faut donc égaler à zéro les différentielles dey(a:,j^, z) et de F (a:, y^ -z), en y regardant yetz comme des fonctions de la variable indépendante x. On obtient ainsi

[6 ) —- dx -\- --- dy -\ dzzszo,

dx dy dz

(4 ) — - rfr H — — ûrr -! dz -: o,

équations qui renferment les deux inconnues -7- et — au

CIX ux

premier degré seulement : on en tire

<(f^ dfd?

dy d.T. dz dz dx

dx ~ df dP d/dP^

dz dy dy dz

d/(lV^__^cifd?

dz dy dx dx dy

di ~ d/dF^ d/dï *

liz dy dy t/z

^4 COURS d'amaltse.

SI Fëquation (i) ne contenait pas x, on aurait

df

etTéquation (3) deviendrait simplement

df ^ df ^

dy dz

d'où Ton tirerait

dz dy

dz '

Celle dernière expression est le rapport des différentielles de z et de y considérées comme fonctions de a:*, mais c'est aussi bien la fonction dérivée de z considérée comme fonction de^, en regardant j^ comme une variable indépendante. En effet, z étant fonction de y^ en posant

et prenant les différentielles par rapport à j:, on a, d'après la règle des fonctions de fonctions,

dz z=z f ( j) dy, d'où / ( j) r= ^ .

85. En général, si Ton a n équations entre « -h i varia* l)les, une seule sera indépendante et toutes les autres seront fonctions de celle-là. On égalera à zéro les différentielles des premiers membres de toutes ces équations •, on aura ainsi n équations ovidx^ dy^ dz^ etc., entreront au

premier degré, et d'où l'on tirera les valeurs de — >

dz

-r-y etc.

dx