Exemples. i°y^=:x
dy y ou -r — -- maf*~\ dx
;^^'m{m-i)af"\
dx
—— T- m(m — i)[m — 2)a:"-\ dx^ V / \ / »
On voit que, si m est entier, — -^ a une valeur con-
* ' ' dx'^
stante, et que les dérivées ultérieures se réduisent à zéro.
-— ^mAjC"-'.-!- (/7i — OBa;'"-'-^ .., dx
[m — i) Aa:^-' + [m — i ) (/7i — 2)Bx"-» -f-. . .;
et, si m est un nombre entier,
Les dérivées suivantes sont nulles.
rfx ' dx^ ^ y ^ dx^ ^ '
Si a = e, on a
4» y-zz. log jr.
dx -~^ "^ '
-7-^ =: — l .X" MoCtf,
= 1 .2.x~^.loge
5" j =^ sin X,
dy d^y . ^/*r d^y
-— ■ r= cosx, — - = — sinjT, — — - = — cosj-, -- — ==sinx.
dx dx^ diX^ dx^
Les dérivées suivantes reprennent périodiquement ces quatre valeurs.
On peut remarquer aussi que
dy^
= sin ( j: H — tc\
et en général
2 / dx^ \ 2
--^ = sin I X -4- - ir </x" V 2
yS COURS d'analyse.
Pour y = cosx, on trouverait
cl" y [ n \
-— ^ r= CCS \X-\ TT I
89. Quand la fonction y est implicite, on peut avoir ses dérivées successives sans résoudre Téquation qui la détermine. Soit
on aura
df df ^
équation qui fournit d'abord la valeur de j-'en fonction de X et de y, ou en fonction de x seulement si l'on élimine j^ entre les équations (i) et (2). Maintenant, représentons par
Téquation (2), ou plus généralement une combinaison quelconque des équations (1) et (2). On pourra considérer la fonction cp comme identiquement nulle, si Ton y suppose y eiy' remplacées par leurs valeurs en fonction de X. Donc on doit avoir d^ = o, ou
d'où
Cette équation fera connaître y" en fonction de a:, y et y\ ou en fonction de x seule, si Ton élimine j^ ex,y' enire les équations (1), (2) et (3) (*),
(•) Si l'équation (i) renferme deux constantes, on peut les éliminer entre les équatious(i), (2) et (3), et Ton arrivera ainsi à une équation exprimant une propriété commune à toutes les courbes représentées par Téquation (i), dans laquelle ou ferait varier ces constantes (83). On pourrait éliminer un plus grand nombre de constantes en formant un nombre suffisant d'équations difTérentielles.
On trouverait de même y"\ y^^ y etc.
Nous verrons plus loin (111) comment les équations qui déterminentj^''',^''^, etc., peuvent se former au moyen des dérivées successives du premier membrey(j:, j) de Téquation primitive, prises par rapport à a: et à j^.
DU CHAIÏGEMEIÎT DE LA YAKIÀBLE INDÉPENDANTE.
90. Si l'on a n équations entre (/i -+- 1) variables, j^, ar, t, M, 1^, ... , on peut en regarder une comme indépendante, et imaginer que toutes les autres soient exprimées en fonction de celle-ci. Si l'on choisit f, par exemple, on a
Supposons, maintenant, qu'auparavant x ait été la variable indépendante, et que Ton ait
yz=zf[x) et x=z(f[t).
L'élimination de x entre ces deux équations conduirait àTéquation y= ^ (/), qui, par la différentiation immédiate., donnerait les dérivées 4''(^)> ^"(')v»-9 4'^"^(^) ^^J^ en considérant y comme fonction de la nouvelle variable indépendante t.
Le problème que nous allons traiter consisté à exprimer, sans passer par réliminaliou de a:, les dérivées ou différentielles successives de y considérée comme fonction de f, au moyen de /' (x), f" (a:), etc., et des dérivées ou différentielles de x prises en regardant x comme fonction de f.
91. A cet effet, si l'on prend t pour variable indépendante, et que l'on considère a: et j^ comme fonctions de ty on a, d'après la règle des fonctions de fonctions,
dxz=zf'[x)dx.
En différentianl celle équation par rapport à f et regardant dx^ non plus comme une constante, mais comme
8<) COURS d'amalyse.
une fonction de f, on a
De même,
d'X—/'^{x)dx'-^3/"{x)dxd^x-^-/'(x)ri^r,
et ainsi de suite.
Si, au lieu des différentielles dej^ ou de ^ (t) par rapport à f, on veut avoir ses dérivées ^'(^) ct^" (t)^ etc., il suffit de diviser les équations précédentes par rir^ rf/*, dl^ respectivement, ce qui donne
f (/) : -./"(X) ï' [ty + 3/" (x) ç' (^If (0 + /' (X) ç- (t).
92. Réciproquement, si Ton connaît les différentielles ou les dérivées successives de x et dej^ considérées commcî des fonctions cf (f), t^/ (t) de la variable indépendante f^ on en peut déduire les dérivées^"' (x),/^" (j:),etc., de^ considérée comme fonction de x. Car on tire des équations précédentes
rM--'""''?,
- (tv d'^x
d.r ( d.r d^ Y — dr d* .r ^ — 3 d^x (dx d^y — dy d^.r)
les différentielles dans les seconds membres étant toujours relatives à t.
93. Voici un autre moyen d'arriver à ces formules. On a d'abord
En différentiant les deux membres de celte équation par
rapport à f, on trouve
f (x)dx-^d.-^ — ,
et, en divisant par r/x,
dxd^y — dyd'x
rix) =
dx^
Une nouvelle différcntîalîon par rapport a t fera connaît rey^"'(j:) , et ainsi de suite.
94. On doit remarquer que la dérivée preinîèrey'(x) est la seule dont l'expression par les différentielles de x etde j^ reste la même, quand on cesse Je prendre x pour variable indépendante ou quand dx cesse d'être constante.
En effet, f (x) est toujours exprimée par — ? tandis
que les autres dérivées/'' (x), /'^''(x), etc., qui sont re-
présentées par -tt' "7^' el^.^ lorsque x est la variable
indépendante, ont des expressions plus compliquées quand on regarder: et ^ comme des fonctions de la nouvelle variable indépendante t.
9o. Il se présente ici une vérification des formules générales. Si Ton prend x pour variable indépendante, en faisant a; = t, on a
dx d^x d*x
et Ton trouve
dx est à présent constante, et les différentielles dj^ d^y^ etc., se rapportent à x.
96* Si l'on prenait j^ pour variable indépendante, Fé- Stcbm. — An.^ I. 6
83 COURS d'AI7ALT8B.
quation
étant résolue par rapport à x, donnerait une valeur de la forme
F (y) est dite fonction im^erse Ae f[x). Il faudrait faire alors ^ = f , d'où
dy^dJt^ d^y = Oy d*jr=o^.,.^ puis
■^ ^ ' rfx /^\ F'{j')'
/*r:rl^ </r'^'x ^ y (y)
Wj
j^, . — dxdy d^x -h Sdy (d^xy
dxr" dx d'^x - / d^x\*
~d^'d^'^ [ip) 3V'(,yy-V{y)F'(y)
