Trouver la m'""* dérivée de la fonction
Solution.
~ = n[n^i),,,[n ^ m^ i)[i - xyaf^
[mn X
/ SIXIÈME LEÇOir. 85
d}y df , df
Que devient cette équation quand la variable indépendante est /?
Solution.
Que devient cette équation quand on prend t pour variable indépendante, sachant qu'on a
Solution.
Prendre t pour variable indépendante^ Solution.
différentiauon des fonctions de plusieurs variables
indépendantes.
Différentielles partielles et totales. — Propriétés de la différentielle totale.
— Différentielle d'une fonction composée, — d'une fonction implicite.
— Dérivées et différentielles de divers ordres. — Théorème sur l'ordre des différentiations. — Différentielles totales de divers ordres des fonctions explicites ou implicites.
DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES d'uWE FOKCTIO» DE PLUSIEURS VARIABLES l£f DÉFENDANTES.
98. Si dans une fonction de plusieurs variables indépendantes
on ne fait varier que j:, et qu'on prenne la dérivée de la fonction par rapport à x, cette rfenVee partielle
(qui est la limite du rapport — ) sera une certaine fonction cp(.r,j^, 2)5 on la représente par la notation-— ou
— ' — • La dérivée partielle, multipliée par dx ou par
Faccroissement arbitraire de a:, donnera la différentielle partielle de u par rapport à j:, ou — dx.
On pourra prendre de même la dérivée et la différentielle de u par rapport à y, et aussi par rapport à z .
99, Si l'on pose
la somme des différentielles partielles de u par rapport à
' toutes les variables, ou
sera nommée la différentielle totale de u. Dans cette expression, dx^ dy^ dz désignent les accroissements arbitraires dex, j^, z, ou Ax, Aj^, Az.
100. Pour trouver l'expression de l'accroissement total Au de la fonction li, nous allons reprendre la marche suivie pour démontrer la règle des fonctions composées. On aifra, en désignant par a, 6, y des fonctions qui tendent vers zéro, avec Ax, Aj* et Az respectivement,
(2) /{*,r-i-Ajr,3)--/(a?,r,2) — [+(^,r, «) ^-ê]A^,
Supposons que Ton fasse varier seulement x dans Téquation ( 2), puis x et j^ dans l'équation (3), il viendra
et
(5^ I "^^^ "^ Aj?,JH- Aj^, 2 -h Az) — /(x -f- Aj:,r -+- A/, z)
6' s'cvanouissant avec Ax et A^, et 7' avec A x, Ay et
Si Ion ajoute la première équation avec les deux dernières, il vient *
/(j:-+- A.ir,jH- Aj, Z -f- Az) — /(x,7, z)
n^ [ç ( x, ^, z) + a] A:r -}- \^ [x H- Ax, jr, «) H- 6'] A/
OU, en désignant par ^" et y" de nouvelles fonctions qui tendent vers o,
I Att = f<p(j?, r,5)A.r-l-r(;{j:,j,z)Aj--hx(^,r.«)^2] Ainsi r accroissement de la fonction a se compose de
deux parties : dans Tune, les accroissements des variables sont multipliés par des fonctions indépendantes de ces accroissements, et qui sont les dérivées partielles de u; dans l'autre, ces accroissements sont multipliés par des quantités a, j3", y'' qui s'évanouissent en même temps qu'eux. Dans le cas où les variables indépendantes se réduisent à une seiile^ la première partie se nomme difîérentielle de la fonction. Il est donc naturel de donner, dans tous les cas, à cette première partie, le nom de différentielle totale.
