PROPAIÉTÉS DE* LA DIFFÉRENTIELLE TOTALE

102. Nous avons vu, au commencement du Cours (22), que la limite du rapport de Taccroissenient d'une fonction d'une seule variable à sa différentielle est l'unité (pourvu que la différentielle ne soit pas nulle). Le même tliéo-

rème a lieu pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes.

On a, d'après la définition de la différentielle totale,

du =:ff[x,y, z) Aa: -f- ij; [x, /, z) ày + x(^> ^> *) ^^'

par conséquent (100),

biu — duz=^ aAx -f- P''A/ -I- Y^Az; puis, en divisant par du^

a 4 ft" :L .4. ^" — A« '^ Ax ' Ax

du V . / X ^T / ^2

Lorsque Ax, Aj^, Az deviennent infiniment petits, le numérateur tend vers zéro, mais le dénominateur ne devient pas infiniment petit, tant que Tun au moins des

rapports —1 — reste arbitraire. La limite de -— est donc *^*' ,A* Ax du

l'unité, si les valeurs des accroissements Aj:, Aj^, Az

n'annulent pas du,

103. Quand une fonction de plusieurs variables est constante j sa dijférenlielle totale est nulle.

En effet, la dérivée de cette fonction par rapport à chaque variable est nulle, par conséquent sa différentielle

, . du j du j du j ...

totale, qui est — ax -h -7- "^y-^ "j- "^5 est nulle aussi.

On en conclut que si deux fonctions ont une différence constante, leurs différentielles partielles ou totales sont égales. Car si m — v' = c, c étant une constante, on a

d[^u — p) ou du — dv^=.o et du = d?.

Et réciproquement, si du = d^^ on a

d{^u — ç)= ^ dx + -i— 1 dy H- -^ ^ dz = o,

ax dy " dz

pO COURS d'analyse.

égalité qui entraîne les suivantes :

dx ^ df dz

puisque les accroissements dx^ dy^ dz sont tout à fait arbitraires. Par conséquent la différence m — v est indépendante de chacune des variables x^ y ^\. z (24). C'est donc une constante.

DIFFÉREWTIATION d'uNE FOnCTIOW COMPOSÉE DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. .

104. Si une fonction est composée, par exemple, de deux fonctions des variables indépendantes x, j", z^ romnie p r=: F (ii, j^), ou aura, en la différenliant tour à tour par rapport à chaque variable,

dp dp du dp dv dx du dx dv dx

dp dp du dp dp dy du djr dv dy

dp dp du dp dv dz du dz dv dz

"-» — désignant les dérivées de p ou de F (w, if) prises

par rapport à chacune des quantités u et v», comme si u et \f étaient des variables indépendantes.

En multipliant les dérivées -^> -^j -r-P^LT dx. dy. dz ^ dx dx dz '^ ' ./ '

respectivement et ajoutant, on aura la différentielle totale

de;;,

dp , dp

dpr=z -^ du -\ — T- dp.

du dv

Les facteurs du et d\> qui multiplient les dérivées partielles -~? -f- désis^nent les différentielles totales de u et du dp ^

de \f. Ainsi le théorème relatif à la différentiation d'une

fonction composée (47) â'étend au cas de plusieurs variables indépendantes.