Soit

une fonction des variables indépendantes x, y^ z. Les règles relatives aux fonctions d'une seule variable

donnent immédiatement les dérivées successives -7-?

dx

d^u d'*it . du d'*u du d'^u

___j . . ,, -— — , puis -—?••• 5 — et -r-5 • • •? -TT-*

dx^ dx" ^ dy dy" dz dz"

Or toutes ces dérivées sont des fonctions de x, j" et z, qui ont elles-mêmes leurs dérivées par rapport à chacune

9^ COURS d'anai^yse.

[di] ,

des variables. Ainsi Ton peut prendre — ^ — 9 c'està-dire la dérivée par rapport à y de la dérivée de 11 par rapport à x.

Pour plus de clarté, on pourrait indiquer ces deux

, , . ^ \dx 1 dyd^u . . i

opérations successives par ; — — ou -7 — — ; mais il

* *• dy dydx

suliit décrire simplement -1 — 7- ou -; — — > parce que

*■ dydx dydx ^ *

Tordre des différentielles dy et dx au dénominateur indique suffisamment qu'il faut prendre d'abord la dérivée

de n par rapport à Xy qui est —^ et ensuite la dérivée

de — par rapport à y. De même ~ — — exprimera la dérivée par rapport à a: de la dérivée de u par rapport à y. On indique d'une manière semblable le résultat d'un nombre quelconque de différcnlialions successives exécutées dans un certain ordre sur la fonction u par rapport

d*u aux diverses variables qu'elle renferme. Ainsi — -, — ; — 7-

* dzdxdydx

signifie qu'il faut prendre d'abord — = m, , ensuite

du^ , du 2 p dit^ ^, ,

-— - = M,, puis -— = 1/3, et enlin -7- = 1x4. L. est ce derdy ^ dx dz

d^ i( nier résultat z/^ qu'exprime la notation

dzdxdydx THÉORÈME SUR l'oKDRE DES DIFFÉREJSTIATIOKS.

107. Le résultat Jinal de plusieurs differentiations successives est toujours le méitte, quel que soit V ordre dans lequel on opère par rapport aux diverses variables.

Je dis d'abord que

, du . du d — d —

dx dy d'*u d^u :r= OU que =■ •

dy dx dydx dxdy

En effet, si Ton ne fait varier dans la fonction ii que x et j^, on peut, en faisant abstraction des autres variables, représenter u pary{x,j^). Or on a

(l) /{x -+- h, y) —/(a:, j.) =r ^-£ -f- aj h,

CL étant une fonction de x^y et A, qui tend vers zéro en même temps que A, quelle que soit la valeur qu'on donne à j.

Changeons dans cette équation j^ en j^ -+- /r. Le premier membre devient

Dans le second, -7- devient

dx

du

d -—du dx ^

— -\- -j-k-^-tk, dx dy

D tendant vers zéro avec A 5 a prendra une nouvelle valeur

doi

de la forme « -f- a'A, a' ayant pour limite — ? si fc dimi-

nue jusqu'à zéro*, cette nouvelle valeur devant encore devenir infiniment petite avec h quel que soit ^, il faut que ol' s^annule aussi avec h. On aura donc

. \dx dy / V

En retranchant la première équation de la seconde, puis divisant par /lA, il vient

hk

dr

p4 COUBS d'analyse.

On voit que le second membre, et par suiie le premier, a

du

tlx

pour limite -j--» quand /i et Adécpoissent îndëGnîment.

Maïs en faisant varier dans y (a:, j^) d'abord^ et en-

du

suite x^ on trouverait de même que ---^ est encore la

dx

limite du premier membre de Téquation (3) quand h et k

tendent vers zéro.

Les deux limites doivent être égales^ on a donc

, du , du d — d — dx dr d^u d'*u

— -^ ou —

djr dx dydx dxdy

Il est bon d'observer que le premier membre de l'équation (3) équivaut aux deux expressions [*)

le sorle qu'on a aussi bien que

•^ et — y

Ax^jr Ax Ly

àj àx u = Ax Ay u ,

dy dx u —z dx dj u.

108. Il résulte de là que si Ton avait à difierentîer une fonction plusieurs fois de suite par rapport à diverses variables et dans un certain ordre, on pourrait, sans changer le résultat final, inlervertir l'ordre de deux différentiations consécutives. Ou démontrera ensuite qu'il est possible d'amener chaque différen lia lion à tel rang qu'on voudra, et par suite d'intervertir à volonté l'ordre

{*) A^u indique l'accroissement de u lorsque,^ ne variant pas, x est changé en xh- Ao;. Ayti^u est raccroissement de à^u lorsque, x restant le même, on chan^je/" enr-H A^. La notation d^u est quelquefois employée pour désigner la dérivée de u par rapport à x. Alors d^d^u = d^{d^u).

SEPTIEME LEÇON. g5

des différenlîations successives, de la même manière qu'on démontre en Arithmétique qu'un produit reste le même, quel que soit l'ordre de ses fadeurs, quand on a prouvé qu'on peut échanger deux facteurs consécutifs. On aura, par exemple,

d'u d*u d* Il

dx dz dx dy dz dx dz dz dy dx dx dx dz^ dy dx^