IX»» J

du d dx

mnx^-

dy ""

dxdy

du

mnx"*"

dx

dydx

u arctan^

du

du

dx

dydx (x^-^y^y dxdy différentielles totales de divers ordres d'une

FONCTION de plusieurs VARIABLES INDÉPENDANTES.

HO. Soit u une fonction de trois variables indépendantes -T,^, z, et proposons-nous d'en calculer les différentielles totales duy d* tu d^Uy etc.

La différentielle première est

• - du du - du

duz=z -;- dx -i — T- dy -^ — r- dz,

On aura la différentielle totale de du ou la différentielle totale et du second ordre de u, en prenant la diffé-

9^ COURS DANALYSB.

reniîelle totale de chaque terme de du^ ce qui donne, observant que - — — = - — -, etc.,

*■ dy dx dxdy

d'u , dUi , ^'« ,\ .

dx H- -— — dy -\- -j—j- dz dx dxdy dxdz j

( dUi d-^n . d^a \ ^

KlûTy'''-^ d^'^^^d^.'T''

d'il , d'il , d'il \ ,

dx -f- — — -- dy -f- — - — dz ) az,

dxdz dy dz dz^

ou

r/2f/ (i^tt , . d^ti . d^u . ,

d''u=—-dx^-^ -—-dy^-^ —-^dz'-^i—~-dxdy dx^ dy' '' dz^ ilxdy

d^u ^ ^ d^ii , ,

-f- 2 - — - dxdz -^ 2. - — - drdz, dxdz dydz

On voit que d^u peut se former en élevant au carré la

différentielle première -^ dx -\- — dj -+■ — dz, pourvu

qu'au numérateur de chaque terme du carré développé on remplace du* par d*u. Avec cette convention, on écrit la formule symbolique

[du du ^ du ^\(»)

On aura de même en général

/du , du ^ du , \W

l'exposant entre parenthèses indiquant qu'il s'agit d'une formule symbolique, c'est-à-dire d'une expression dans laquelle il faudra remplacer du^ par d'^u après le développement.

On démontre la généralité de cette formule ^n prouvant que, si elle est vraie pour un certain indice /i, elle est encore vraie pour l'indice tï -+- 1 .

En effet, un terme quelconque du développement

symbolique de d^u est de la forme

t X . du!^ , , , .

(i) k- ; —dxPdr'idz^

OÙ

p-h q -^ rzzuiy

et

i.2.../>Xi«2...<7Xi»2...r Le terme correspondant de d'^u est

M k dxP dr^ dz'.

^^ djcP dyi dz^ -^

On aura d'*'^^u en prenant la différentielle totale de chaque terme de ^"w. Or la différentielle totale du terme (2) peut s'obtenir en multipliant sa valeur symbolique (i) par l'expression

du du du

pourvu qu'après le développement du produit on change û?u"+* en d^'^^u. Donc la différentielle totale de d^'u ou rf^+^M s'obtiendra en multipliant par l'expression (3) la valeur symbolique de rf"a qui, par hypothèse, est la puissance w**'"* de la même expression. On aura donc aussi la formule symbolique

du . \(«+')