REMARQUE SUR LA SÉRIE DE TAYLOR

120. Si Ton arrête la série de Taylor à un terme quelconque f^"^ (vr) qui ne soit pas nul, on pourra

toujours prendre la quantité h assez petite pour que ce terme surpasse en valeur absolue le reste qu'il faudrait ajouter à la somme

l .2,3, . .ri

afin d'avoir la valeur exacte dcf(x -h h).

En effet, si l'on prend la seconde forme du reste (8), pour que le terme qui contient A" surpasse le reste corres-

HUITIÈME LEÇOif. IO()

pondant, il faut qu'on ail (en ne considérant que la valeur absolue de chaque facteur)

ou simplement

Cette condition sera toujours remplie, en prenant h suffisamment petit, s'if^"^ (x) n'est pas zéro et si^^^"^ (a:') reste finie et continue pour toutes les valeurs de x' comprises entre x et x-j-A, puisqu'alors la différence /^"^(x-f-ô/i) — f^'*^(x) tend vers zéro en même temps que h.

On voit même que le rapport du reste R au terme en A" où Ton arrête la série tend vers zéro à mesure que h diminue.

SÉRIE DE MÂCLÀURIN.

121. Si l'on fait x = o dans les équations (6), (7) et dans celle qu'on obtiendrait en substituant l'expression (9) de B, et qu'on remplace ensuite la lettre A par la lettre x, on obtiendra les formules

H ^ ^/<">(o)-+ ^ fC^OlQx),

/H =/(0) + Jrfio) + —-/"{O) -h...

r:ïXïï^^^"H«)-^TX37:^i^^"^(''')-^'"^(«»'

fin) (o) + \' "^ /:«+') (9x).

IIO COURS D ANALYSE.

On développe ainsi une fonction quelconque de x en une suite de termes ordonnés suivant les puissances entières et ascendantes de x, pourvu que la fonction dérivée de Tordre /i -h i ou- celle de l'ordre n dey(x') reste finie et continue pour les valeurs de la variable x' comprises entre o et x.

Si, lorsque n croît indéfiniment, l'une des expressions

ou

tend vers o, du moins lorsque x est au-dessous d'une certaine limite, la série

indéfiniment prolongée sera convergente, et, en outre, aura pour sommey (x). On a donc

/(x) =./{o) +x/'(o) +-ll/"(o) + -^/"{o) + . . ..

Cette dernière formule est celle de Maclaurin, Si elle était démontrée avant la formule de Taylor, on pourrait en déduire celle-ci, en considérant y (x -H A) comme une fonction de h à développer suivant les puissances de h par Tune des formules (lo).