REMARQUES SUR LA FORMULE DE MACLAURIIV

122. La fonction y'(jr) ne peut pas être développée suivant les puissances de x par la formule de Maclaurin, quand cette fonction ou l'une de ses dérivées devient infinie ou discontinue pour x = o. Mais on peut alors la développer suivant les puissances de x — a, en changeant dans la formule de Taylor (6) x eu a et h en x — a, co

HUITIÈME LEÇOH. III

qui donne

+ (fL-Zi^V" („,+...+ i!LZ lL]l /(-) (,)

(ll)\ 1.2 I.2.3.../2 ^ ■'

( rr /l \»+«

La seule condition à laquelle la valeur a soit assujettie est quey*^""*"*^ [x^) reste finie et continue pour toutes les valeurs de x' depuis a jusqu'à X'^ la série sera d'autant plus convergente que la différence x — a sera plus petite.

123. La fonction/" (a:) ne peut être développée en aine série convergente procédant suivant les puissances entières et ascendantes de x autrement que par la formule de Maclaurin ; car supposons cet autre développement en série convergente,

on en conclut [A-/(o)]+[B-y'(o)]x+[c-=ÇÇl]^'

En faisant x = Oj l'égalité précédente se réduira à A =/(o). Divisant par x et faisant de nouveau x = o,

on aura B ==/' (o). On obtiendra de même C = — - — »

et ainsi de suite.

De même la formule de Taylor donne le seul développement possible de y (a: -h h) suivant les puissances entières de h,

124. Il ne faut pas croire que la série indéfinie de Maclaurin, quand elle est convergente, ait toujours pour somme/ (x) ; la somme de ses termes peut converger vers

une limite différente de /(x). Par exemple, la fonc-

tion e *' devient nulle ainsi que toutes ses dérivées pourx = 05 tous les termes de la série de Maclaurin

lia COURS D AN AL Y SB.

appliquée à cette fonction sont donc nuls, et cependant la fonction n'est pas nulle. Si 9 (x) est une fonction développable par la formule de Maclauriu, et qu'on pose

la fonctîony*(a:), développée par la même formule, donnera lieu à une série convergente, mais qui aura pour somme cf (x) et non pas la fonction développée y (x).

L'égalité d'une fonctiony(a:) à la série de Maclaurin prolongée à Tinfini n'a lieu que dans le cas où le reste qu'il faut ajouter à la somme d'un nombre quelconque de termes de cette série, pour avoir la valeur exacte def[x)j devient plus petit que toute quantité donnée quand le nombre des termes croît jusqu'à l'infini.

Les mêmes remarques s'appliquent à la série de Taylor.