AUTRE DÉMONSTRATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR

125. Soient m la plus petite et M la plus grande valeur dey*^'""*"*^ (a:), lorsque x croît depuis Xq jusqu'à X. Si a -+- A est une quantité comprise entre Xq et X, on aura

Mais le premier membre de cette inégalité est la dérivée par rapport à h de la fonction

donc cette fonction croît avec h^et comme elle est nulle pour A = Oj on aura pour /i > o

Maintenant le premier membre de cette nouvelle inégalité est la dérivée par rapport à h de la fonction

HUITIÈME LEÇON. Il3

donc celte dernière fonction est croîssanle avec a, et comme elle s'annule en même temps que A, on aura pour

On aura de même

/•(»-»)(« + /,)/(«-a)(«)y^/(n-«)(«) ^/('»)(rt) ->o,

et enfin

f[a+h]-na)~hf{a)^^r{a)-...